Foro de Matemáticas

nachete · Registrado: 04 Mar 2010 Mensajes: 1

Hola! a ver si me podéis ayudar con la siguiente cuestion....
Si una combinación lineal de Gaussianas independientes es siempre una Gaussiana... cuando las Gaussianas no son independientes ¿¿obtenemos también una gaussiana??
Gracias!

Athina · Registrado: 30 Mar 2010 Mensajes: 5

La respuesta a tu pregunta es no: si las variables aleatorias no son independientes, en general eso no es cierto.

Extracto del libro "Lecciones de Cálculo de Probabilidades" de Vicente Quesada y Alfonso García, página 339 (edición de 2003):

Si X _ 1, X_2,..., X_n

son n variables aleatorias con distribución normal unidimensional, no siempre cualquier combinación lineal de las mismas sigue una distribución normal, es necesario además que sean independientes. Por el contrario, si las X_i

tienen una distribución normal multivariante, el resultado es cierto, como nos asegura el siguiente teorema que damos sin demostración, ya que es fácilmente verificable a través de la función característica:

Teorema:
Si el vector aleatorio X=(X _ 1,..., X_n)

sigue una distribución normal multivariante $N_n (\mu ,\Sigma )$ , entonces cualquier combinación lineal de las X_i

de la forma $\sum\limits_{i = 1}^n {a_i X_i }$ donde las a_i

son constantes, i=1,...,n

, tiene una distribución normal unidimensional de media $\sum\limits_{i = 1}^n {a_i \mu _i }$ y de varianza $\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {a_i a_j \sigma _{ij} } }$

Aquí, $\mu=(\mu_1,..., \mu_n)$ es el vector de medias de la distribución normal multivariante y $\Sigma=(\sigma_{ij})_{nxn}$ es la matriz de covarianzas.