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sistema compatible e incompatible
 
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krislu5



Registrado: 05 Oct 2009
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MensajePublicado: Lun Oct 05, 2009 11:03 pm    Título del mensaje: sistema compatible e incompatible Responder citando

hola, llevo tiempo intentando dar solución a un ejercicio, os lo propongo y haber si me aclara alguien. gracias

ax-y+az=0
3x+y+z=0
ax-y-az=a

a) para que valores del parametro a el sistema es compatible determinado?
b) para que valores del parametro a el sistema es compatible indeterminado?
c) resolver el sistema por el caso a=1

no entiendo nada y por mas que miro los apuntes, no me aclaro.

muchas gracias
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krislu5



Registrado: 05 Oct 2009
Mensajes: 2


MensajePublicado: Mar Oct 06, 2009 1:32 pm    Título del mensaje: sistema y determinantes Responder citando

Hola, gracias por la respuesta, pero me puedes detallar como has llegado a la fórmula?

en tu respuesta estan contestadas las tres preguntas?

gracias por la ayuda
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MagnaGenta



Registrado: 30 Dic 2007
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MensajePublicado: Mar Oct 06, 2009 6:14 pm    Título del mensaje: Responder citando

_Dogod, el determinante que debes considerar es el determinante de
los coeficientes del sistema. Ahora mi respuesta:

_Sea el sistema:


\left\{
\begin{array}{c l}
ax - y + az &= 0\\
3x + y + z &= 0 \\
ax - y - az &= a  
\end{array}
\right.


_Entonces el determinante del sistema es:


\Delta =
\begin{array}{|r r r|}
a & -1 & a \\
3 & 1 & 1 \\
a & -1 & -a  
\end{array}


_Nota que cada columna contiene los coeficientes de una de las variables
y en su orden respectivo.
_En Álgebra Lineal hay un teorema que dice que un sistema de ecuaciones
lineales con n incógnitas y n ecuaciones es compatible
determinado (hay una única solución) si, y sólo si, el determinante del sistema
es no nulo. Esto es, en nuestro caso el sistema es compatible determinado
si y sólo si \Delta \ne 0, mientras que si \Delta = 0 el sistema
puede ser o compatible indeterminado o incompatible.


_Ahora,


\Delta =
\begin{array}{|r r r|}
a & -1 & a \\
3 & 1 & 1 \\
a & -1 & -a  
\end{array}


\Longleftrightarrow \quad
\Delta  = a\, \begin{array}{|r r|}
   1 & 1  \\
   { - 1} & { - a}  \\

 \end{array} + \begin{array}{|r r|}
   3 & 1  \\
   a & { - a}  \\

 \end{array} + a\, \begin{array}{|r r|}
   3 & 1  \\
   a & { - 1}  \\
 \end{array}


\Longleftrightarrow \quad
\Delta  = a\left( { - a + 1} \right) + \left( { - 3a - a} \right) + a\left( { - 3 - a} \right)


\Longleftrightarrow \quad
\Delta  =  - 2a^2  - 6a =  - 2a\left( {a + 3} \right)


_Luego, \Delta = 0 sólo cuando a=0 o cuando a=-3;
el sistema es compatible determinado para todos los valores de a distintos de a=0 y a=-3.
Si a=0, entonces el sistema original se queda como sigue:


\left\{
\begin{array}{c l}
- y &= 0\\
3x + y + z &= 0 \\
- y  &= 0  
\end{array}
\right.

_Y es fácil ver que es compatible indeterminado, sus soluciones tienen la forma:


x = \lambda; \quad  y = 0; \quad z = -3\lambda \qquad \lambda \in \mathbb{R}


_Si a=-3, el sistema queda como sigue:


\left\{
\begin{array}{c l}
-3x - y - 3z &= 0\\
3x + y + z &= 0 \\
-3x - y + 3z &= -3  
\end{array}
\right.


_Puedes comprobar fácilmente que es incompatible.
Concluimos que el sistema original es compatible determinado si a \notin \{0,-3\},
es compatible indeterminado si a=0, y es incompatible si a=-3.


_Por último, te remito a

http://www.aulademate.com/foro/ayuda-con-lgebta-lineal-vt1594.php

_Ahí verás la solución de un problema similar pero sin el uso de determinantes
(Nota el adjunto que Epsilon5 deja).


[2]

[E/5]


Ultima edición por MagnaGenta el Mar Oct 06, 2009 6:23 pm; editado 3 veces
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Dogod11



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MensajePublicado: Mar Oct 06, 2009 10:43 pm    Título del mensaje: Responder citando

Cierto, tienes razón. Gracias por corregirme sí, hubo un descache al tomar mal la matriz, bueno pero para eso estamos todos para aprender, además estaba un poco oxidado en el tema pero de ahora en adelante tendré más cuidado, me voy a imponer un rigor de verdugo yo mismo,

Muchas gracias y seguimos en el camino
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