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calcular la masa de una esfera de radio..... AYUDA!!!
 
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jnemonic



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MensajePublicado: Mie Jun 03, 2009 1:09 pm    Título del mensaje: calcular la masa de una esfera de radio..... AYUDA!!! Responder citando

Hola, necesito ayuda con este ejercicio. A ver si alguien me lo puede resolver:

"Calcular la masa de una esfera de radio 2 sabiendo quela densidad en un punto es proporcional a su distancia al eje z"

Muchas gracias
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André



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MensajePublicado: Mie Jun 03, 2009 7:03 pm    Título del mensaje: Responder citando

Sea E la esfera y \delta(x,y,z)=kz su función de densidad. Debes saber que la masa M está dada por \displaystyle\iiint_{E}\delta(x,y,z)dxdydz. Usando coordenadas cilíndricas el problema sale sin ninguna dificultad.
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André



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MensajePublicado: Mie Jun 03, 2009 11:57 pm    Título del mensaje: Responder citando

La región que se transforma en E es \left\{{(\rho,\varphi,\theta) : 0 \leq \rho \leq 2, 0 \leq \varphi \leq \pi, 0 \leq \theta \leq 2\pi}\right\}. Por tanto,
\displaystyle\iiint_E\delta(x,y,z)dxdydz= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2}2k\cos\theta(\rho ^ 2\sin\varphi ) d\rho d\varphi d\theta=\displaystyle2k\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\int_{0}^{2}\rho ^ 2 d\rho d\varphi d\theta.
Espero no haberme equivocado.
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Epsilón5



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MensajePublicado: Jue Jun 04, 2009 1:20 am    Título del mensaje: Responder citando

_André, nota que \delta (x,y,z) =kz dice que la densidad es proporcional a la distancia entre el punto y el plano xy.

_La función densidad para este problema vendría siendo \delta (x,y,z) =k \sqrt{x^2 + y^2} que dice que la densidad es proporcional a la distancia entre el punto y el eje z.

_También nota que haz usado coordenadas esféricas en lugar de coordenadas cilíndricas.

[Te dejo los detalles que siguen...]

[Saludos]


Ultima edición por Epsilón5 el Jue Jun 04, 2009 2:22 am; editado 1 vez
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jnemonic



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MensajePublicado: Jue Jun 04, 2009 1:25 am    Título del mensaje: Responder citando

Graci9as a los dos pero sigo un poco perdido la verdad... si me oo podeis especxificar un poco mas os lo agradeceria.
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Epsilón5



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MensajePublicado: Jue Jun 04, 2009 2:14 am    Título del mensaje: Responder citando

_En general,

Masa = Densidad x Longitud [Cuando se trata de cables.]

Masa = Densidad x Área [Cuando se trata de láminas.]

Masa = Densidad x Volumen [Cuando se trata de cuerpos sólidos.]

_En tu problema se usa la tercera fórmula más las técnicas del cálculo. La densidad en el punto (x,y,z) viene dada por la función densidad \rho (x,y,z) = k \sqrt{x^2+y^2}, el elemento infinitesimal de volumen en el punto (x,y,z) es dz\,dy\,dx; como masa es igual a densidad por volumen tenemos:

d\mu = \rho (x,y,z)dz\,dy\,dx

_Donde d\mu es el elemento infinitesimal de masa en el punto (x,y,z). Si integramos sobre el volumen de la esfera obtendremos la masa buscada, así:

\[
m = \displaystyle\iiint\limits_B {d\mu } = \displaystyle\int\limits_{ - 2}^2 {\displaystyle\int\limits_{ - \sqrt {4 - x^2 } }^{ \sqrt {4 - x^2 } } {\displaystyle\int\limits_{ - \sqrt {4 - x^2  - y^2 } }^{\sqrt {4 - x^2  - y^2 } } {\rho \left( {x,y,z} \right)dz\,dy\,dx} } } 
\]

\[
 \Rightarrow \quad m = k\displaystyle\int\limits_{ - 2}^2 {\displaystyle\int\limits_{ - \sqrt {4 - x^2 } }^{\sqrt {4 - x^2 } } {\displaystyle\int\limits_{ - \sqrt {4 - x^2  - y^2 } }^{\sqrt {4 - x^2  - y^2 } } {\sqrt {x^2  + y^2 } dz\,dy\,dx} } } 
\]


_Donde B es la esfera (sólida, o sea, la bola). Usando coordenadas cilíndricas, como André sugiere (inicialmente), esta integral se simplifica bastante:

\[
\left[ \begin{gathered}
  x = r\cos \theta \quad  \wedge \quad y = r\sin \theta \quad  \wedge \quad z = z\quad  \wedge \quad dz\,dy\,dx = rdz\,dr \, d\theta \hfill \\
  - \sqrt{4 - r^2} \leq z \leq \sqrt{4 - r^2} \quad  \wedge \quad 0 \leq r  \leq 2 \quad  \wedge \quad  0 \leq \theta \leq 2\pi \hfill \\ 
\end{gathered}  \right]
\]

_Sustituyendo y teniendo en cuenta que \cos^2 \omega + \sin^2 \omega = 1 obtenemos:

\[
m = k\displaystyle\int\limits_0^{2\pi } {\displaystyle\int\limits_0^2 {\displaystyle\int\limits_{ - \sqrt {4 - r^2 } }^{\sqrt {4 - r^2 } } {r^2 dz\,dr\,d\theta } } }  = 2k\displaystyle\int\limits_0^{2\pi } {d\theta \displaystyle\int\limits_0^2 {r^2 \sqrt {4 - r^2 } \,dr} } 
\]

\[
 \Rightarrow \quad m = 4k\pi \displaystyle\int\limits_0^2 {r^2 \sqrt {4 - r^2 } \,dr} 
\]


_Usando la sustitución trigonométrica \[r = 2\sin \psi \] tenemos:

\[
\displaystyle\int\limits_0^2 {r^2 \sqrt {4 - r^2 } \,dr}  = 4\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi }
{2}} {4\sin ^2 \psi \cos ^2 \psi \,d\psi }  = 4\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi }
{2}} {\sin ^2 2\psi \,d\psi } 
\]

\[
 \Rightarrow \quad \displaystyle\int\limits_0^2 {r^2 \sqrt {4 - r^2 } \,dr}  = 4\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi }
{2}} {\frac{{1 - \cos 4\psi }}
{2}\,d\psi }  = \pi 
\]

_Se concluye con:

\[
m = 4k\pi \displaystyle\int\limits_0^2 {r^2 \sqrt {4 - r^2 } \,dr}  = 4k\pi ^2 
\]


[[He usado las identidades trigonométricas:

\[
\sin 2\omega  = 2\sin \omega \cos \omega \quad  \wedge \quad \sin^2 \omega  = \displaystyle\frac{{1 - \cos 2\omega }}
{2}
\]

O sea, las identidades de ángulo doble y ángulo mitad, resp..]]


[Saludos]


Ultima edición por Epsilón5 el Vie Jun 05, 2009 6:57 am; editado 1 vez
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jnemonic



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MensajePublicado: Jue Jun 04, 2009 11:37 am    Título del mensaje: Responder citando

muchas gracias. Sois los mejores
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Epsilón5



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MensajePublicado: Jue Jun 04, 2009 10:37 pm    Título del mensaje: Corrección.- Responder citando

_En general,

Masa = Densidad x Longitud [Cuando se trata de cables.]

Masa = Densidad x Área [Cuando se trata de láminas.]

Masa = Densidad x Volumen [Cuando se trata de cuerpos sólidos.]

_En tu problema se usa la tercera fórmula más las técnicas del cálculo. La densidad en el punto (x,y,z) viene dada por la función densidad \rho (x,y,z) = k \sqrt{x^2+y^2}, el elemento infinitesimal de volumen en el punto (x,y,z) es dx\,dy\,dz; como masa es igual a densidad por volumen tenemos:

d\mu = \rho (x,y,z)dx\,dy\,dz

_Donde d\mu es el elemento infinitesimal de masa en el punto (x,y,z). Si integramos sobre el volumen de la esfera obtendremos la masa buscada, así:

\[
m = \displaystyle\iiint\limits_B {d\mu } = \displaystyle\int\limits_{ - 2}^2 {\displaystyle\int\limits_{ - \sqrt {4 - z^2 } }^{ \sqrt {4 - z^2 } } {\displaystyle\int\limits_{ - \sqrt {4 - y^2  - z^2 } }^{\sqrt {4 - y^2  - z^2 } } {\rho \left( {x,y,z} \right)dx\,dy\,dz} } } 
\]

\[
 \Rightarrow \quad m = k\displaystyle\int\limits_{ - 2}^2 {\displaystyle\int\limits_{ - \sqrt {4 - z^2 } }^{\sqrt {4 - z^2 } } {\displaystyle\int\limits_{ - \sqrt {4 - y^2  - z^2 } }^{\sqrt {4 - y^2  - z^2 } } {\sqrt {x^2  + y^2 } dx\,dy\,dz} } } 
\]


_Donde B es la esfera (sólida, o sea la bola). Usando coordenadas esféricas, como André sugiere (finalmente), esta integral se simplifica bastante:

x = r\cos \theta \sin \varphi \quad  \wedge \quad y = r\sin \theta \sin \varphi \quad  \wedge \quad z = r \cos \varphi \quad  \wedge \quad dx\,dy\,dz = r^2 \sin \varphi dr\,d\varphi \, d\theta

  0 \leq r \leq 2\quad  \wedge \quad 0 \leq \varphi  \leq \pi \quad  \wedge \quad  0 \leq \theta \leq 2\pi

_Sustituyendo y teniendo en cuenta que \cos^2 \omega + \sin^2 \omega = 1 obtenemos:

\[
m = k\displaystyle\int\limits_0^{2\pi } {\displaystyle\int\limits_0^\pi  {\displaystyle\int\limits_0^2 {r^3 \sin ^2 \varphi drd\varphi d\theta } } }  = k\displaystyle\int\limits_0^{2\pi } {d\theta } \displaystyle\int\limits_0^\pi  {\sin ^2 \varphi d\varphi } \displaystyle\int\limits_0^2 {r^3 dr} 
\]

_Que fácilmente se resuelve como:

\[
m = k\left( {2\pi } \right)\left( {\displaystyle\frac{{2^4 }}
{4}} \right)\displaystyle\int\limits_0^\pi  {\displaystyle\frac{{1 - \cos 2\varphi }}
{2}d\varphi }  = k\left( {2\pi } \right)\left( 4 \right)\left( {\frac{\pi }
{2}} \right) = 4k\pi ^2 
\]

[[He usado:

\sin^2 \omega = \displaystyle\frac{1 - \cos 2\omega}{2}

Nota que he cometido varios errores, los cuales he editado en el post anterior. Perdón por los inconvenientes...]]


[Saludos]
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