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polinomio caracteristico y diagonalizacion
 
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matesecs



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MensajePublicado: Dom May 24, 2009 7:11 pm    Título del mensaje: polinomio caracteristico y diagonalizacion Responder citando

Hola buenas, no entiendo como se calcula el plonimomio caracteristico de f y sus valores propios. En cada sitio lo explicandiferente...
se trata de f(x,y,z)=(2x+3y+9z,-4y-18z,3y+11z).
Necesitaria alguna explicaion no tan formal y entendible paso por paso. tambien se pide si f se diagoniliza y si así lo hace deice que encontremos una de las bases formadas por los vectores propios.

Gracias de antemano, a ver si consigo entenderlo de una vez, llevo muchas horas y no hay manera.

gracias
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Epsilón5



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MensajePublicado: Dom May 24, 2009 9:01 pm    Título del mensaje: Responder citando

_Lo primero que deberías hacer es determinar un matriz A (en este ejercicio A es de 3\times 3: dimensión del rango por dimensión del dominio, en general) tal que:

\[
f\left( {x,y,z} \right) = A \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
   x  \\
   y  \\
   z  \\

 \end{array} } \right)
\]

_Nota que, para evitar complicaciones, he puesto:

\[
\left( {x,y,z} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   x  \\
   y  \\
   z  \\

 \end{array} } \right)
\]

_Si estás familiarizado con el producto de matrices, notarás rápidamente que:

\[
A = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   2 & 3 & 9  \\
   0 & { - 4} & { - 18}  \\
   0 & 3 & {11}  \\

 \end{array} } \right)
\]

_Los valores propios (o eigen-valores) de f son los valores propios de A. También f diagonaliza si y sólo si A lo hace. Esto es, para resolver el problema simplemente cambia f por A (estoy suponiendo que ya conoces estos temas para el caso de matrices y que tu duda está en como aplicárselos a las transformaciones lineales como f).

_Por cierto, en caso de que A sea diagonalizable (A = T\cdot F\cdot T^{-1}, donde F es una matriz diagonal), haz lo siguiende:

f = \tau \circ \varphi \circ \tau ^{-1}

_Donde,

\[
\tau \left( {x,y,z} \right) = T \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
   x  \\
   y  \\
   z  \\

 \end{array} } \right)
\]

_ , y,

\[
\varphi \left( {x,y,z} \right) = F \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
   x  \\
   y  \\
   z  \\

 \end{array} } \right)
\]

[Si tienes dudas sobre como aplicar estos temas a matrices (cosa que no debería ocurrir, ya que por lo menos debes tener buenas referencias bibliográficas) ¡No dudes entonces en postear tus inquietudes!]

[Saludos]
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