Foro de Matemáticas

matesecs · Registrado: 28 Mar 2009 Mensajes: 10

Hola buenas, no entiendo como se calcula el plonimomio caracteristico de f y sus valores propios. En cada sitio lo explicandiferente...
se trata de f(x,y,z)=(2x+3y+9z,-4y-18z,3y+11z).
Necesitaria alguna explicaion no tan formal y entendible paso por paso. tambien se pide si f se diagoniliza y si así lo hace deice que encontremos una de las bases formadas por los vectores propios.

Gracias de antemano, a ver si consigo entenderlo de una vez, llevo muchas horas y no hay manera.

gracias

Epsilón5 · Registrado: 28 Nov 2008 Mensajes: 179 Votos: 6

_Lo primero que deberías hacer es determinar un matriz

(en este ejercicio

es de $3\times 3$ : dimensión del rango por dimensión del dominio, en general) tal que:

$f\left( {x,y,z} \right) = A \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\ \end{array} } \right)$

_Nota que, para evitar complicaciones, he puesto:

$\left( {x,y,z} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\ \end{array} } \right)$

_Si estás familiarizado con el producto de matrices, notarás rápidamente que:

$A = \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 & 3 & 9 \\ 0 & { - 4} & { - 18} \\ 0 & 3 & {11} \\ \end{array} } \right)$

_Los valores propios (o eigen-valores) de

son los valores propios de

. También

diagonaliza si y sólo si

lo hace. Esto es, para resolver el problema simplemente cambia

por

(estoy suponiendo que ya conoces estos temas para el caso de matrices y que tu duda está en como aplicárselos a las transformaciones lineales como

).

_Por cierto, en caso de que

sea diagonalizable ( $A = T\cdot F\cdot T^{-1}$ , donde

es una matriz diagonal), haz lo siguiende:

$f = \tau \circ \varphi \circ \tau ^{-1}$

_Donde,

$\tau \left( {x,y,z} \right) = T \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\ \end{array} } \right)$

_ , y,

$\varphi \left( {x,y,z} \right) = F \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\ \end{array} } \right)$

[Si tienes dudas sobre como aplicar estos temas a matrices (cosa que no debería ocurrir, ya que por lo menos debes tener buenas referencias bibliográficas) ¡No dudes entonces en postear tus inquietudes!]

[Saludos]