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heptalquimista · Registrado: 07 Mar 2009 Mensajes: 5

1. El valor del número (pi) se puede calcular con el algoritmo de Arquímedes, que es el límite al que tiende la mitad del promedio aritmético de los respectivos perímetros de polígonos regulares circunscritos e inscritos en un círculo de radio unitario, cuando el número de lados tiende a infinito.

Cuando el número de lados L de los polígonos regulares son un múltiplo de 6, es decir, L=6*2n , n = 0, 1, 2, ..., N; y miden respectivamente AL y aL, entonces PL=6*2n*AL y pL=6*2n*aL son los perímetros de los polígonos circunscrito e inscrito, respectivamente, que Arquímedes calculó hasta L=96 lados y determinó que: 223/71 < (pi) < 22/7

Por lo anterior, (pi) se calcula como el siguiente límite:

(pi) = lim n(n->inf) ½ [(PL+ pL)/2]= lim n(n->inf) 3*2n *[(AL+ aL)/2]

Considere dibujar por separado las figuras geométricas de un hexágono y un dodecágono regulares cuyos lados son (A6, a6) y (A12, a12), circunscritos e inscritos respectivamente en un círculo de radio unitario. Obsérvese que el hexágono inscrito en el círculo de radio unitario se compone de seis triángulos equiláteros cuyos lados miden a6=1.

i.Unicamente mediante relaciones geométricas y algebraicas, sin usar trigonometría, demuestre en primer lugar la expresión para A6 como función del lado del hexágono inscrito a6: A6(a6) = (2√3)a6 /3 , que corresponde a (n=0, L=6).
A continuación, en segundo lugar demuestre la expresión para A12 como función de los lados de los hexágonos A6 y a6:
A12(A6,a6) = 2A6a6 /(A6 + a6).
Por último, en tercer lugar demuestre la expresión para a12 como función respectivamente de los lados del dodecágono A12 y del hexágono a6: a12(A12,a6) = √(A12a6).
Esas expresiones A12(A6,a6) y a12(A12,a6) corresponden a (n=1, L=12).
ii. Con tales expresiones recursivas, por inducción demuestre que para (n=2, L=24) se obtienen las funciones:
A24(A12,a12) = 2A12a12 /(A12 + a12) y a24(A24,a12) = √(A24a12).
Finalmente, generalice los resultados y demuestre que se obtienen las funciones recursivas:
AL(AL/2,aL/2) = 2AL/2aL/2 /(AL/2 + aL/2) y aL(AL,aL/2) = √(ALaL/2);
Las cuales corresponden a polígonos de L lados, donde L=6*2n.
iii. Calcule recursivamente y tabule los sucesivos valores de AL, (pi), aL, que corresponden a los números enteros: n = 0, 1, 2, 3, ..., N, para evaluar con siete cifras decimales el valor del número (pi). ¿Cuál es el valor de N, tal que para incierto número n > N el valor de (pi) sólo cambia de la octava cifra decimal en adelante?.