Foro de Matemáticas

TheComputerMen · Registrado: 13 Nov 2011 Mensajes: 2

Hola buenas tardes a todos, soy nuevo en este foro y necesito ayuda con esta sucesión que no entiendo, mi libro de calculo tiene un ejemplo pero la verdad me confunde mas, si no es molestia me gustaría que me proporcionarán un procedimiento paso a paso, bueno confiando de antemano en sus matemáticos conocimientos les dejo, el ejemplo y el problema en cuestión:

Teorema A.1.2 Limite de una sucesión

Sean $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ sucesiones convergentes. Si $\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{a_n}$ = L_1

y $\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{b_n}$ = L_2

, entonces

a) $\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{c}$ =

,

un número real

b) $\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{ka_n}$ =

,

un número real

c) $\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{a_n + b_n}$ = $\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{a_n}$ + $\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{b_n}$ = L_1

+

d) $\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{a_n}\cdot{}b_n}$ = $\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{a_n}\cdot{}\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{b_n}$ = L_1

$\cdot{}$

e) $\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{}{}}$ $\displaystyle\frac{a_n}{b_n}$ = $\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{a_n}}{\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{b_n}}$ = $\displaystyle\frac{L_1}{L_2}$ , L_2

$\neq{}$ 0

El ejemplo:

Determine si la sucesión $\displaystyle\frac{2 - 3e^ {-n}}{6 + 4e^ {-n}}$ converge

Solución: Observe que ${2 - 3e^ {-n}$ y $6 + 4e^ {-n}$ $\neq{}$ 0 cuando ${n \to{}\infty}{}}$ de acuerdo con el teorema tenemos

$\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{}{}}$ $\displaystyle\frac{2 - 3e^ {-n}}{6 + 4e^ {-n}}$ = $\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{2 - 3e^ {-n}}}{\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{6 + 4e^ {-n}}}$ = $\displaystyle\frac{2}{6}$ = $\displaystyle\frac{1}{3}$

La sucesión converge a $\displaystyle\frac{1}{3}$

El problema a resolver indica que debo demostrar que la sucesión converge al número dado L

1.- $\displaystyle\frac{1}{n}$ ;

= 0

También me pregunto si el $e^ {-n}$ lo puedo omitir para resolverlo ó como procedo

C_Lambda · Registrado: 26 Sep 2010 Mensajes: 81

Buenas tardes.

Lo primero la definición formal de convergencia de una sucesión:

Sea ${x_n}$ una sucesión, si dice convergente a

si para cada $\epsilon>0$ por pequeño que sea existe un n_0

tal que la distancia de x_n

a

,

, es menor que $\epsilon$ , esto es, $d(x_n,L)<\epsilon$ para todo n>n_0

.

Una demostración en términos de epsilon para los mas puristas:

Sea $x_n= \displaystyle\frac{1}{n}$ . Veamos que converge a

. Para cada $\epsilon>0$ existe $n_0= \displaystyle\frac{1}{\epsilon}$ tal que $d\left( \displaystyle\frac{1}{n},0 \right)= \displaystyle\frac{1}{n}<\epsilon$ con n>n_0

. Fin.

Francamente, y en mi opinión claro está, no comprendo porque los profesores se empeñan en este tipo de ejercicios, que son redundantes y no clarificadores, aunque será cuestión de gustos supongo.

¡Un saludo!

HugoGB · Registrado: 21 Dic 2009 Mensajes: 6

El ejemplo que no entiendes es simple:

$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{ \displaystyle\frac{2-3e^-^n}{6+4e^-^n}}= \displaystyle\frac{2-3e^-^\infty}{6+4e^-^\infty}= \displaystyle\frac{2-3\displaystyle\frac{1}{e^\infty}}{6+4 \displaystyle\frac{1}{e^\infty}}= \displaystyle\frac{2-3*0}{6+4*0}=\displaystyle\frac{2}{6}=\displaystyle\frac{1}{3}$

Espero que lo hayas entendido. Saludos.

TheComputerMen · Registrado: 13 Nov 2011 Mensajes: 2

C_Lambda · Registrado: 26 Sep 2010 Mensajes: 81