Foro de Matemáticas

jcmtnez · Registrado: 21 Oct 2006 Mensajes: 77

Hallar $\displaystyle\int_{}^{} tg^2(x)dx$

Yo he resuelto el problema usando la integracion por partes.

$\displaystyle\int_{}^{} tg^2(x)dx= \displaystyle\int_{}^{} sen^2(x)sec^2(x)dx$

Usando la formula

v=sen^2(x)

$\frac{du}{dx}=sec^2(x)$
$\frac{dv}{dx}=2cos(x)sen(x)$
u=tg(x)

Sustituyendo

(1) $\displaystyle\int_{}^{}tg^2(x)dx=sen^2(x)tg(x)- \displaystyle\int_{}^{}2cos(x)sen(x)tg(x)dx$
(2) $\displaystyle\int_{}^{}tg^2(x)dx=sen^2(x)tg(x)-2 \displaystyle\int_{}^{}sen^2(x)dx$

Por el mismo metodo de integracion por partes pero de manera inmediata, se halla $\displaystyle\int_{}^{}sen^2(x)dx= \displaystyle\frac{x-sen(x)cos(x)}{2}$ y al sustituir en (2) obtenemos:

(3) $\displaystyle\int_{}^{}tg^2(x)dx=sen^2(x)tg(x)-(x-sen(x)cos(x))$
(4) $\displaystyle\int_{}^{}tg^2(x)dx=sen^2(x)tg(x)+sen(x)cos(x)-x$

Manipulando de manera algebraica $sen^2(x)tg(x)+sen(x)cos(x)= \displaystyle\frac{sen(x)(sen^2(x)+cos^2(x))}{cos(x)}$

*Nota: sen^2(x)+cos^2(x)=1

de manera que $\displaystyle\frac{sen(x)(sen^2(x)+cos^2(x)}{cos(x)}=tg(x)$

Por lo tanto nos queda:

(5) $\displaystyle\int_{}^{}tg^2(x)dx=tg(x)-x$

Perdon por la falta de tildes pero mi teclado no me las permite.

Saludos
Jose C. Martinez