Foro de Matemáticas

elsurfer · Registrado: 04 Oct 2011 Mensajes: 5

Hola a todos soy nuevo en este foro, estudio profesorado de matemática en Uruguay (segundo anio) y me he encontrado con este problema el cual no logro resolver... Sin mas agradezco CUALQUIER clase de aporte que me oriente en la posible solución, o mejor aun que me la expliquen ya que lo di por irresoluble... :(.

La letra es la siguiente: (Les adjunto el link al repartido es el desafio 5 http://www.depdematematica.org/ipa/sitio/file.php/5/Materiales_anteriores/2010/Unidad_1-Ficha_4-Vinculando_lados_y_angulos_en_un_triangulo.pdf)

Desafío 5
a) ¿Qué relación hay entre el radio de la circunferencia menor y el
radio del cuadrante?

Como observan en el dibujo tenemos un cuadrante de circunferencia, desde uno de sus radios trazados tenemos una semicircunferencia interior de diámetro igual a ese radio, luego tenemos dos circunferencias menores tangentes al cuadrante y a la semicircunferencia. La relación al parecer es evidente el r del cuadrante es el diametro de la semi, su radio es a su vez diametro de la mayor de las 2 interiores y el radio de esta el diametro de la otra es decir, si el cuadrante tiene 8 cm de radio las demas deberian" 4, 2, 1...

Ninguno de los profesores del centro que consulte logro avanzar demasiado, me sugirieron la idea de cuaterna armonica... El desafio se encuentra en el repartido de relaciones entre angulos y lados de un triangulo pero no descarten homotecias etc... lo importante es demostrar la relacion (o encontrarl;a si es otra). Si alguien quiere resolverlo y no logra ver el pdf avise y subo una captura de pantalla...

Desde ya muchisimas gracias. No les cuento mas de mis razonamientos fracasado ya que no quiero que cometan los mismos errores yo ya veo siempre lo mismo :S

Un abrazo espero su ayuda.

cv · Registrado: 25 Sep 2010 Mensajes: 550 Votos: 5

elsurfer · Registrado: 04 Oct 2011 Mensajes: 5

[/quote]
Muy Buenas
Tu ya tienes demostrado esta cuestion de relacion de diametros o simplemente te parece asi, porque eso facilita mucho el emprendimiento.
Saludos.
PD. Si lo tienes demostrado seria provechoso que lo poongas en el Foro para poder continuar sobre esa base[/quote]

Hola, no lo tengo demostrado es justo lo que intentaba hacer... Esas relaciones las comento para que descarten que el triangulo formado por los dos vertices de las circuferencias interiores y la semicircuferencia es rectangulo, ya que no son ternas pitagoricas...
Muchas gracias, si tienes mas dudas pregunta y agrego algunos de los caminos que intente...

cv · Registrado: 25 Sep 2010 Mensajes: 550 Votos: 5

Muy Buenas, hasta ahora de una manera bastante simple tengo demostrado que la circunferencia mas grande (de las 2 internas) tiene un radio=1/4 del radio mayor (el que los encierra a todos), en algun momento pegare un grafico para explicar y espero tener tambien resuelto la cirrcunferencia mas chica, aunque en principio no parece nada facil.

Saludos.

cv · Registrado: 25 Sep 2010 Mensajes: 550 Votos: 5

Al unir O1 con O2 vemos que el segmento pasa por el punto de tangencia al trazar la tangente TM vemos que como T,N y O son puntos tangentes los segmento OM=MN=TM ademas O1M es bisectriz y O2M tambien ambas de angulos suplementarios entre si y ambos adyacentes al segmento O1 O2 esto hace que O1 M O2 sea un angulo recto. En el triangulo O1 M O2 con altura TM podemos aplicar lo siguiente:

$TM^2=P \displaystyle\frac{R}{2}$

C=2TM

por otro lado el segmento OO2=R-P y si usamos pitagora para resolver C en el triangulo O2 N O

C^2=(R-P)^2 - P^2

Ahora

$\displaystyle\frac{R}{4}=P$

Faltaria ahora abordar el O3, pero esto quizas te ayude a terminarlo, igual voy a seguir viendo este tema, saludos.

cv · Registrado: 25 Sep 2010 Mensajes: 550 Votos: 5

elsurfer · Registrado: 04 Oct 2011 Mensajes: 5

cv · Registrado: 25 Sep 2010 Mensajes: 550 Votos: 5

Hola surfer, bueno ahora que has aparecido me dan mas ganas de continuar con el problema pues si bien uno lo hace por "amor al arte" francamente lo abandone primero porque no le encontre solucion y luego al no haber respuesta a lo hecho no continue.
Respecto a lo que me comentas, debe ser asi pues yo lo he dibujado y recuerdo que me habia dado un poco menos de 1/8 (y que no te sorprenda eso), es decir hay que buscar la respuesta como Dios manda y luego dibujarlo sera facil.
Voy a reveer el tema y en una semana, si no pasa nada antes, te comento si el problema me ha superado, hartado, etc.
Saludos.

elsurfer · Registrado: 04 Oct 2011 Mensajes: 5

Lo tengo casi terminado utilizando el decimo caso de apolonio, teorema de descartes, para la noche intentare subirlo completo.. Saludos

cv · Registrado: 25 Sep 2010 Mensajes: 550 Votos: 5

elsurfer · Registrado: 04 Oct 2011 Mensajes: 5

Bueno, la demostración final se basa en que ya conocemos los radios de las tres circuferencias anteriores, lo unico que tenemos que hayar es la medida del radio de una circuferencia tangente a otras tres dadas... Trazar una circuferencia a tres objetos matematicos dados es un problema que a despertado interés desde la antigüedad Apolonio de Pergamo fue el primero en dar una demostracion considerando los 10 casos posibles, 3 puntos, 2 puntos y una recta, 2 puntos y una circuferencia... y por ultimo tres circuferencias que es el que nos interesa... La solucion que utilice es del tipo analitica y fue propuesta por descarte, si consideramos que K es la curvatura de una objeto matematico y establecemos que k=+- 1/r (mas menos el inverso del radio, si fuese una recta, R es infinito y si fuese un punto R es cero), la formula propuesta por descartes en su teorema de los circulos establece que: ver imagen.
Donde debemos tener en cuenta que las tangentes interiores llevan signo negativo o sea que si a la circunferencia cuadrante le asignamos k1 va a ser -k1, el resto de las circunferencias son tangentes exteriores por lo que llevan el signo+
al sustituir los valores en la ecuación antes dada k1=-1/r k2=2/r k3=4r k4=x/r llegamos a determinar que x=5+2.2^(1/2) v 5-2.2^(1/2) pero en nuestro caso la única que es solución al problema es la primera por lo que el radio de la cuarta circunferencia es R/5+2.2^(1/2) Aprox r/7.8284 . Confirme esto con el geogebra como se ve en la imagen... Pero como veras es una solución analitica lo cual es algo desagradable ya que comencé el post diciendo que era euclideana, estoy buscando la demostración que dio newton al problema de apolonio ya que solo utiliza regla y compás capaz desde ella tal vez se puede llegar a una demostracion elegante como la anterior... Aun así creo que tener la solucion puede orientar mas el camino...

cv · Registrado: 25 Sep 2010 Mensajes: 550 Votos: 5

Muy interesante, me alegra que al menos hayas encontrado la respuesta pero estoy de acuerdo que una solucion sintetica seria mas elegante.
Estaba viendo pero de manera empirica que el segmento AG y que continua hasta el punto tg del pequeño circulo con el cuarto de circulo (en ese punto hay una letra pero no la distingo) forma 45º con AB y que si desde ese punto tg trazamos una paralela a AB pasamos por el centro F, pero eso no lo puedo demostrar.
Lo que si surge de la logica es lo siguiente: si trazamos las 3 rectas tg a cada punto de tangencia de el medio circulo con los circulos chico y el de radio r/4 y la recta tg entre estos 2 circulos estas se unen en un punto y ese punto es el incentro del triangulo DFG.

Bueno, muchas gracias por compartir con el Foro la solucion que no deja de ser interesante, pero bueno no son problemas faciles de resolver. Saludos