Foro de Matemáticas

Blastan · Registrado: 05 Ene 2008 Mensajes: 1

Hola, por favor ayudenme con esta ecuacion, no se como resolverla.
Reduzaca la ecuacion dada a la forma ordinaria, diga si representa o no una circunferencia; hallar su centro y radio.

4x ^ 2+4y ^ 2+28x-8y+53=0

De antemano gracias

MagnaGenta · Registrado: 30 Dic 2007 Mensajes: 203 Votos: 2

_No debería ser aquí que publiques tal pregunta, sino en la otra "Geometría" o en "Bachillerato". Aún así, ahí te va la respuesta.

_La forma ordinaria o canónica de la ecuación de una circunferencia con radio

y centrada en el punto (h,k)

es:

[Debemos tener en cuenta que el radio es mayor que 0]

_Si podemos llevar tu ecuación a dicha forma, entonces representará a una circunferencia. El proceso principal para hacer esto, se llama "completar cuadrados". Por ejemplo, para que la expresión a^2+2a

sea un cuadrado perfecto necesitaría que le sumásemos un 1, así:

a^2+2a+1=(a+1)^2

, pero como esta acción le ha cambiado el valor a a^2+2a

en una unidad, entonces tendremos que quitarle (restarle) a la última expresión dicha unidad para que el valor de a^2+2a

no sea alterado, así:

a^2+2a=(a+1)^2-1

_Esto es completar cuadrados...

[En general, si tenemos una expresión de la forma aw^2+bw

, sólo tenemos que sumarle y restarle $\displaystyle\frac{b^2}{4a^2}$ para completar cuadrados y obtener:

$aw^2+bw=a \left ({w+\displaystyle\frac{b}{2a}}\right )^2-\displaystyle\frac{b^2}{4a^2}$

, que es lo que usaremos más adelante.]

_Tu ecuación es:

4x^2+4y^2+28x-8y+53=0

_Primero pasamos el término independiente al miembro derecho de la ecuación y luego dividimos por ese tedioso 4:

$4x^2+4y^2+28x-8y+53=0 \; \; \Rightarrow{} \; \; 4x^2+4y^2+28x-$ $8y=-53 \; \; \Rightarrow{} \; \; x^2+y^2+7x-2y=- \displaystyle\frac{53}{4}$

_Ahora, agrupamos los términos con

en un paréntesis y con los términos con

hacemos igual:

$(x^2+7x)+(y^2-2y)=- \displaystyle\frac{53}{4}$

_Ahora, completamos cuadrados en cada paréntesis:

(*)- Para completar cuadrados en el primero sumamos $\displaystyle\frac{7^2}{2^2}$ a ambos miembros de la igualdad:

$\left ({x^2+7x+\displaystyle\frac{7^2}{2^2}}\right )+(y^2-2y)=\displaystyle\frac{49}{4} -$ $\displaystyle\frac{53}{4} \; \; \Rightarrow{} \; \; \left ({x+\displaystyle\frac{7}{2}}\right )^2+(y^2-2y)=-1$

(**)- Para completar cuadrados en el segundo paréntesis sumamos 1 a ambos miembros:

$\left ({x+\displaystyle\frac{7}{2}}\right )^2+(y^2-2y+1)=-1+1 \; \; \Rightarrow{} \; \; \left ({x+\displaystyle\frac{7}{2}}\right )^2+(y-1)^2=0$

_Como el radio de una circunferencia es mayor que 0, tenemos que esta ecuación no representa a una circunferencia. De hecho, esta ecuación representa un punto, a saber, el punto $\left ({-\displaystyle\frac{7}{2},1}\right )$ que es el único que la satisface.

[[Espero que te halla servido de algo.]]

[E-5]

dovalenano · Registrado: 18 May 2010 Mensajes: 3

No se a él, pero a mí me ayudó bastante.

Quería agradecer por la solución a este problema, los ejemplos de los apuntes que nos da la cátedra son un poco pobres, comparados con esta detallada explicación y tantas otras que encontramos en el foro.

Y disculpas por subir un post viejo.