Foro de Matemáticas

Anselmo · Registrado: 04 Dic 2011 Mensajes: 6

Agradeceré cualquier aporte. Gracias...!!!

Un avión realiza una maniobra a velocidad supersónica, según la trayectoria 2y^2-x^2=48.

Hallar menor distancia de la trayectoria al punto (6;0).

A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
E. 5

ferry91 · Registrado: 18 Abr 2009 Mensajes: 224 Votos: 2

Veamos, así a grandes rasgos se me ocurre la siguiente solución. Se coge el punto p(6,0) y un punto cualquiera de la trayectoria q(x,y). Ahora calculamos la distancia entre estos dos puntos:

$d =\displaystyle\sqrt {{{(x - 6)}^2} + {{(y - 0)}^2}} = \displaystyle\sqrt {{{(x - 6)}^2} + {y^2}}$

Ahora tenemos que minimizar la distancia, por lo que calculamos la derivada. Antes de eso, empleamos la ecuación de la trayectoria para dejar nuestra función distancia con una sola variable, para ello hacemos lo siguiente:

$2{y^2} - {x^2} = 48 \to {y^2} = \displaystyle\frac{{48 + {x^2}}}{2}$

$d = \displaystyle\sqrt {{{(x - 6)}^2} + \displaystyle\frac{{48 + {x^2}}}{2}} = \displaystyle\sqrt { \displaystyle\frac{{3{x^2} - 24x + 120}}{2}}$

Derivamos e igualamos a zero para obtener la raíz del polinomio:

$\displaystyle\frac{d}{{dx}}\left( {\displaystyle\sqrt {\frac{{3{x^2} - 24x + 120}}{2}} } \right) = 0 \to x = 4$

Ahora quedaría comprobar que la segunda derivada en el valor hallado sea mayor que cero para corroborar que sea un mínimo, aunque no lo pondré aquí.

Por último solo queda hallar el valor de y correspondiente al valor de x hallado:

${y^2} = \displaystyle\frac{{48 + {4^2}}}{2} = 32$

Y calculamos la distancia:

$d = \displaystyle\sqrt {{{(x - 6)}^2} + {y^2}} = \displaystyle\sqrt {{{(4 - 6)}^2} + 32} = \boxed{6}$

Y por tanto seria la opción d.

Espero que te haya servido. No he querido incluir la resolución de las derivadas ni las simplificaciones ya que creo que eso deberías mirarlo por tu cuenta y practicar.

Un saludo.

Anselmo · Registrado: 04 Dic 2011 Mensajes: 6

Gracias. Está clara tu explicación.