Foro de Matemáticas

Caxarreo · Registrado: 21 Oct 2011 Mensajes: 15

Una población de conejos aumenta anualmente en un 50%. Si en el momento inicial había 100 conejos: ¿cuántos habrá al cabo de 10 años ?

Dogod11 · Registrado: 09 Dic 2008 Mensajes: 331 Votos: 4

C_Lambda · Registrado: 26 Sep 2010 Mensajes: 81

En un año se tendrá la siguiente población:

$100+ \displaystyle\frac{1}{2}100=100 \left(1+ \displaystyle\frac{1}{2} \right)$

En dos años se tendrá la siguiente:

$100+\displaystyle\frac{100}{2}+\left( 100+\displaystyle\frac{100}{2} \right)\displaystyle\frac{1}{2}=100 \left(\left(1+\displaystyle\frac{1}{2} \right)+ \left(1+\displaystyle\frac{1}{2} \right)\displaystyle\frac{1}{2} \right)=$ $100 \left(1+\displaystyle\frac{1}{2} \right) \left( 1+\displaystyle\frac{1}{2} \right)=$ $100 \left(1+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2=$

Evidentemente con estos dos casos ya uno intuye que para diez años, la población de conejos será:

$100 \left(1+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{10}$

Hay dos formas en principio de demostrar este hecho formalmente. Uno, ir directamente a realizar las diez operaciones, para los diez años y ver que efectivamente queda eso. (Esto es un poco largo) o aplicar inducción. Yo voy a aplicar inducción.

Sabemos que para uno es cierto porque lo hemos comprobado. Sii demostramos que siendo cierto para

es cierto para n+1

ya se tendría puesto que si es cierto para uno, como sabemos que es, por este hecho sería cierto para dos y al ser cierto para dos, sería cierto para tres etc... Veamos que supuesto que para

años la solución es cierta también es cierta para n+1

.

La población de conejos en

años es por hipótesis de inducción:

$100 \left(1+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n}$

Para n+1

será por tanto:

$100 \left(1+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n}+\left(100 \left(1+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n}\right) \displaystyle\frac{1}{2} =$ $100\left( \left(1+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n}+ \left(1+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n}\displaystyle\frac{1}{2}\right)=$ $100 \left(1+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n} \left(1+\displaystyle\frac{1}{2}\right)=100\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n+1}$

Por tanto en conclusión para

años la cantidad de conejos será:

$100 \left(1+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n}$

Y por consiguiente, para diez años, como ya habíamos dicho, se tendrá una población de:

$100 \left(1+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{10}$

¡Un saludo!

C_Lambda · Registrado: 26 Sep 2010 Mensajes: 81

Bueno me gustaría añadir que esta es una situación muy ideal, donde ni se presupone límite de conejos, ni se presupone competición de tipo alguno. En la realidad la función que modela el crecimiento de una población suele ser la logística donde entran en juego entre otros el factor limite máximo que el hábitat concreto soporta, siendo el limite de la función cuando el tiempo tiende a infinito dicho límite si no cambian los factores que la determinan.

En realidad propuesto tal cual el problema, es mas cercano al problema que se plantea en un interés compuesto que al problema real del crecimiento poblacional.

Saludos.