Foro de Matemáticas

amg · Registrado: 11 Mar 2010 Mensajes: 2

Nunca consegui resolver este problema de la Universidad, de hecho yo llego a la conclusión contraria ¿Podeis ayudarme?

Sean A y B dos sucesos tales que P(A)=p>0 y P(B)=q>0, demuestre que P(B/A)>= 1-(1-q)/p

Gracias de antemano.

Athina · Registrado: 30 Mar 2010 Mensajes: 5

Hola amg. Brevemente:

$P(A)P(B/A) = P(A \cap B) = P(A) - P(A\backslash B) \geqslant$ P(A) - P(B^c ) = P(A) - (1 - P(B))

Dividiendo entre P(A)

obtienes el resultado que buscas.

Para más explicaciones:

Partimos de la definición de probabilidad condicionada: $P(B/A) = \displaystyle\frac{{P(A \cap B)}} {{P(A)}}$

de donde: $P(A)P(B/A) = P(A \cap B)$ (1)

Por otro lado, se tiene que $P(A) = P(A \cap B) + P(A\backslash B)$ (unión disjunta),
luego: $P(A \cap B) = P(A) - P(A\backslash B)$ (2)

Igualando las expresiones (1) y (2), tenemos que:

$P(A)P(B/A) = P(A) - P(A\backslash B)$ (3)

Pero $P(A\backslash B) \leqslant P(\Omega \backslash B) = P(B^c )$ (4)

Así que de (3) y (4) obtenemos: $P(A)P(B/A) \geqslant P(A) - P(B^c )$

Dividiendo entre P(A)

a ambos lados, ya se obtiene el resultado buscado:

$P(B/A) \geqslant 1 - \displaystyle\frac{{P(B^c )}} {{P(A)}} = 1 - \displaystyle\frac{{1 - P(B)}} {{P(A)}} = 1 - \displaystyle\frac{{1 - q}}{p}$

Saludos

PD: Por cierto, la próxima vez intenta poner un título más explícito (por ejemplo, yo habría puesto "probabilidad condicionada"), no hay quien lo entienda (salvo tú) ;)

amg · Registrado: 11 Mar 2010 Mensajes: 2

Muchas gracias, llevo años con el problema, hace casi cinco que fui a clase de estadística la última vez, y nunca consegui resolverlo.

La proxima que pregunte algo, sere mas consecuente en el enunc¡ado.

Gracias de nuevo