Foro de Matemáticas

racedom · Registrado: 17 May 2008 Mensajes: 2

LOS NUMEROS PERFECTOS: PROPUESTA DE UN “JUEGO” A ESCALA PLANETARIA Y POR MEDIO DE INTERNET.

NOTA: Lo que sigue a continuación es mera diversión porque una vez que uno ha leído en Internet “Historia de los números perfectos”, pretender aportar una mínima chispita de originalidad es de tontos. A pesar de ello, si haciendo el tonto nos divertimos, hagámoslo.

Verdad del Barquero: Cuando uno se enfrenta a un problema numérico, lo primero que tiene que hacer es mirar y remirar a los concretos números por ver si puede sacar de ellos una estructura matemáticamente estable, que no es otra cosa que una fórmula. A continuación y supuestos los necesarios conocimientos matemáticos, podrá seguir caminando, pero el inicio es y tiene que ser enfrentarse cara a cara con los concretos números y luego, repito que luego, si uno tuviera la mente matemática del joven Gauss llegaría, por ejemplo, a la fórmula de la densidad de los números primos.
Dirigiendo nuestra atención al famoso último teorema de Fermat y más en concreto limitado a los cubos y todavía aún más limitado: A la diferencia de cubos sucesivos. ¿Qué vemos en dicha serie numérica? Vemos que todos sus números tienen la estructura 6n+1, en donde n va tomando los valores siguientes:
1=1.1
3=1.3
6=2.3
10=2.5
15=3.5
21=3.7
28=4.7
36=4.9
45=5.9
55=5.11
66=6.11
78=6.13
91=7.13
.............
435=15.29
465=15.31
496=16.31
528=16.33
...................
7875=63.125
8001=63.127
8128=64.127
8256=64.129
8385=65.129
.................................
1 3 6 10 15 21 28 36
2 3 4 5 6 7 8
1 1 1 1 1 1

Y hasta un ciego de nacimiento no tiene más remedio que ver que se está frente a una estructura matemáticamente estable: Al doble del factor menor o le falta la unidad para llegar al factor mayor, o le sobra la unidad para llegar al factor mayor. Así, pues, lo que veamos en un concreto número de la serie, en principio, se repetirá o, por lo menos, es lícito preguntarse si se repetirá.
El cuadro anterior no es más que la expresión de una fórmula.
En nuestra serie reside nuestro humano número seis (número del hombre en la cultura judeo-cristiana, a la que pertenezco), que por ser nuestro humano número lo hemos calificado como número perfecto: Sus divisores suman lo mismo que el propio número. Claro que por ser el seis, nuestro número, no sólo es perfecto sino que es el único número pluscuamperfecto: También el producto de sus factores nos da el propio número.
Por estar ante una estructura matemáticamente estable no nos puede caber duda alguna, por pequeña que sea, que en la serie aparecerán, números perfectos, con su estructura matemáticamente estable. Y así:
28/2=14
28/4=7
28/7=4
28/14=2
28/28=1 1+2+4+7+14=28

496/2=248
496/4=124
496/8=62
496/16=31
496/31=16
496/62=8
496/124=4
496/248=2
496/496=1 1+2+4+8+16+31+62+124+248=496

8128/2=4064
8128/4=2032
8128/8=1016
8128/16=508
8128/32=254
8128/64=127
8128/127=64
8128/254=32
8128/508=16
8128/1016=8
8128/2032=4
8128/4064=2
8128/8128=1 1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064=8128

Tan solo una ceguera radical e incurable, puede no ver que la estructura de los denominados números perfectos está constituida por dos factores: El doble del factor menor, potencia del número dos, supera en la unidad o le falta la unidad, al otro factor, que puesto en fórmula sería 2 ^ n-1(2 ^ n –1). Y tan solo con la mencionada ceguera no se llegaría a ver que es absolutamente preciso que el segundo factor tiene que ser un número primo ya que si el segundo factor también tuviera factores, entonces la estructura se derrumbaría. Y no un número primo cualquiera sino aquel que es igual a la suma de los divisores de la correspondiente potencia de dos.
Así, pues, el punto de partida de todo problema de números es interrogar a los propios números.
Claro que así tan solo se llega al punto de partida, lo que no es poco.
Y ahora viene la pregunta del millón: ¿Hay infinitos números perfectos? Como es lógico eso depende si el número (2 ^ n –1) es capaz de darnos infinitos números primos. Mirando a los propios números se llega pronto a ver que el exponente n tiene que ser un número primo, pero si eso es necesario, no es suficiente ya que, por ejemplo, cuando n=11 y cuando n=23, que son números primos, el resultado no es primo.
2047=211-1=23.89
8388607=223-1=47.178481.
Jugando con los números parece, tan solo parece, que la estructura 2n-1 o bien es un número primo o es un número entre cuyos factores necesariamente hay alguno o varios que son múltiplo del exponente. Claro que una cosa es comprobarlo en todos los casos vistos y otra cosa es demostrar que es así o que no es así. Parece que todo número 2 ^ n-1 que es primo nos lleva, en el seno de la anterior serie de números triangulares, a un número 2 ^ n+1, que es múltiplo de tres y, por tanto, los números perfectos están relacionados con los primos gemelos como el positivo y el negativo de una fotografía. Es evidente que mirando tan solo a la fórmula 2 ^ n-1 no se puede ver si nos dará infinitos números primos o tan solo un número finito de ellos. Se necesita que dicha fórmula sea vista, esté en relación, con una estructura matemáticamente estable, que la acoja.
Al comienzo pusimos la serie de los números triangulares, en cuyo seno hay números perfectos y también números defectivos (la suma de los divisores propios es menor que el número) y abundantes (su suma es mayor).
¿Son infinitos los números abundantes QUE FORMAN PARTE DE LOS NUMEROS TRIANGULARES?
Mirando la serie, la respuesta afirmativa es inmediata, ya que son números abundantes los siguientes, que forman estructura matemáticamente estable:
8.15
16.33
32.63
64.129
128.255
256.513
512.1023
1024.2049
..........................
¿Son infinitos los números defectivos QUE FORMAN PARTE DE LOS NUMEROS TRIANGULARES?
Evidentemente el primer factor tiene que ser número primo, y el segundo tendrá que ser el doble de dicho primo más la unidad o menos la unidad. Está claro que de las dos opciones se escogerá la que menos factores tenga. Al poco tiempo de “jugar” con los números vemos que cuanto más grande es el número primo, que nos sirve de primer factor, tanto más defectivo es el número. En multitud de casos el doble de un primo más o menos la unidad nos lleva a otro primo, pero ese es el caso extremo y por más que he buscado el caso más desfavorable: primo pequeño y su doble más menos uno con máximos factores, no he logrado ni tan siquiera un solo número no defectivo bajo esta estructura y es patente que no se encontrará y, además, en realidad, me daría lo mismo que aparecieran infinitos porque de lo que se trata es de que aún nos quedaran infinitos y efectivamente nos quedarían infinitos defectivos aunque EN ESTA ESTRUCTURA (primer factor primo y el segundo con el menor número de factores) también existieran (no existen, como es patente) infinitos abundantes.
Un poco de “juego” para que se patentice lo patente:
El 3 nos lleva al 7:el 5 al 11; 7 al 13; 11 al 23; y llega el 13 que nos lleva al 25 (lo escogemos frente al 27 ya que podemos practicar la ley de la sardina: arrimarla a la propia ascua): 13.25=325=13.5.5, que nos lleva a: 65+25+13+5+1=109<325 (109-325=-216)
El 17 nos lleva al 33=3.11 o al 35=5.7. Primer caso: 17.3.11=561, que nos lleva a: 187+51+33+17+11+3+1=303<561 (303-561=-258). Segundo caso: 17.5.7=595, que nos lleva a :119+85+35+17+7+5+1=269<595 (269-595=-326) Puestos a elegir nos quedaríamos con este segundo caso por ser más defectivo.
El 19 nos lleva al 37; el 23 al 47; el 29 al 59; y el 31 nos lleva o bien al 61; el 37 al 73; el 41 al 83; y el 43, con el que nos despedimos de este juego, nos lleva al 85 o al 87. Primer caso: 43.5.17=3655, que nos lleva a :731+215+85+43+17+5+1=2043<3655 (2043-3655=-1612). Segundo caso: Se da por dicho.
Es patente que en esta estructura en el seno de la estructura de los números triangulares la serie de números defectivos y abundantes es una serie con infinitos elementos.
AHORA BIEN: La estructura de los números perfectos es también una estructura en el seno de la estructura de los números triangulares y esto dicho nos parece que la CONGRUENCIA, que es la suprema ley del pensamiento lógico y racional, EXIGE la infinitud de la estructura de los números perfectos que va flanqueda, a su derecha, por los abundantes, y por la izquierda, por los defectivos.

Y AHORA LLEGA LA PROPUESTA A ESCALA PLANETARIA: Desde hace siglos hay una competición, a lo largo y ancho del planeta, por establecer un nuevo record con respecto a los números perfectos: Actualmente se va por el número TREINTA Y NUEVE.
PERO: ¿Qué es un número perfecto? Es aquel en donde la diferencia entre el número y la suma de sus propios divisores es igual a cero. En todos los demás casos esa diferencia es un número par que va desde –2n hasta +2n.
¿En qué puede consistir el juego? En ver quién, a escala planetaria, logra el mayor número de veces en que la misma distancia se da. Ejemplos:
La distancia +12 se ha encontrado dos veces:
66=6.11=2.3.11, de donde: 33+22+6+11+3+2+1=78. Ergo 78-66=+12
78=6.13=2.3.13, de donde: 39+26+6+13+3+2+1=90. Ergo 90-78=+12
La distancia –2 se ha encontrado dos veces:
2.5=10, de donde 5+5+1=8. Ergo 8-10=-2
8.17=136, de donde 68+34+17+8+4+2+1=134. Ergo 134-136=-2.
En Argentina un estudiante ha encontrado NUEVE veces la distancia +6.
En Japón se ha encontrado VEINTDÓS veces la distancia –38.
Los rusos han batido ese record ya que CUARENTA veces han topado con +3468
Y sin más que ayer un finlandés, con la ayuda de un potentísimo ordenador ha logrado establecer el nuevo record en CINCUENTA Y TRES veces siendo el protagonista el número +765466.

¿Estamos afirmando que las concretas distancias son en número finito? Eso es lo que estamos diciendo: Cada distancia concreta tan solo es posible un número finito de veces, es decir, un corto número de veces. ¿Es que la suma de conjuntos finitos nos lleva al infinito? Of course, supuesto que el número de esos conjuntos sea infinito y es evidente que aunque cada distancia concreta sea un número finito, esas distancias lo son en número infinito y sumar cantidades finitas infinitas veces nos lleva al infinito y, por tanto, los números abundantes y los defectivos lo son en número infinito.
¿Es forzoso concluir que si todas y cada una de las distancias concretas lo son en cantidad finita, también tenga que serlo la distancia cero, ya que es una concreta distancia?
Eso parece, pero hay un PERO y no pequeño: Ninguna de las distancias concretas, EXCEPTO LA DISTANCIA CERO, puede hallarse por medio de una fórmula, por medio de una estructura matemáticamente estable y con ello queremos decir, y decimos, que la distancia cero es cualitativamente distinta a todas las demás distancias y, por ende, lo que vale para todas y cada una de las demás, no vale para el cero. Esto es así que todas las demás lo son en cantidad finita, ergo hay que concluir, y concluyo, que la distancia cero se dará infinitas veces, o lo que es lo mismo: Los números perfectos lo son en número infinito.

¿Estos razonamientos llegan al nivel de establecer que es conjetura matemática la infinitud de los números perfectos?
Doctores tiene la Matemática.

En fin, creo que ha quedado mostrado que mirando a los concretos números uno puede divertirse. Y de eso se trata.
Saludos.