Foro de Matemáticas

Duncan · Registrado: 23 Abr 2011 Mensajes: 61

Buenas, cuanto tiempo! Estaba de viaje.

Y ahora que vuelvo al libro, he ido avanzando, pero ya volví a quedarme bloqueado.

4.34) La función definida por

$f(x) = \displaystyle\frac{(x^ 2 + 3x + 9) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Con f(-3) = 3

y

Antes que nada, a mí me resulta f(-3) = 9

????????

Y luego, ¿qué respuesta y por qué?

a) no tiene discontinuidades.

b) tiene una única discontinuidad.

c) tiene dos discontinuidades.

Algo entiendo. Puede que incluso se la respuesta, pero me gustaría empezar por aquí, porque no es la única pregunta que no tengo claro. Luego hay otras que si las entiendo, pero lo llevo fatal.

Las funciones, derivadas, integrales.... esto es un rollo ¿no? supongo que hará falta muchos ejercicios y conocimientos para dominarlo ????????

Gracias y un saludo a todos!

federed · Registrado: 05 Sep 2011 Mensajes: 2

Hola,
antes que nada, $f( - 3)$ es indefinida pues es una división entre 0.

En la función: $f(x) = \frac{{(x^2 + 3x + 9)(x - 3)}}{{(x + 3)(x - 3)}}$

puede hacerse una simplificación: $(x - 3)$ se divide consigo mismo y se simplifica.
Aclaro que $f(3) = \frac{{9}}{2}$

En cuanto a tu pregunta, la función tiene una sola discontinuidad que es cuando toma el valor -3.

Una discontinuidad se da cuando
$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) \ne f(a)$ y en este caso, tampoco existe el límite pues los límites laterales no coinciden.

De esta manera: $\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3^ + } f(x) = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3^ - } f(x) = - \infty \\ \end{array}$

Por lo tanto, x=-3 es el único punto de discontinuidad. Para este tipo de ejercicios, te recomiendo el Geogebra que te sirve para graficar funciones entre otros.

Saludos

Duncan · Registrado: 23 Abr 2011 Mensajes: 61

Muchas gracias. Voy a poner unas 5 preguntas a ver si a la quinta saco algo en claro. Esta es la siguiente pregunta:

4:35) La función f(x) = (x ^ 2 - 4) / (x - 2)

para $x \neq{2}$ y f(2) = c

a) Tiene una discontinuidad en x = 2

, independiente del valor de c.

b) es continua en x = 2

si

c) es continua en x = 2

si

Aunque ya se que es la respuesta c), si no me equivoco (incluso he realizado la gráfica) y también ya se que $\displaystyle\lim_{x \to{2}$ f(x) = 4

... Perdón por la torpeza, pero ¿de dónde sale c ? se que para que sea continua, c = 4, pero ¿por qué "c"? no se si me entienden.

Sobre geogebra... ¿te refieres a esta página?

http://www.geogebra.org/cms/es

Saludos!

federed · Registrado: 05 Sep 2011 Mensajes: 2

Hola,

efectivamente, la respuesta c es la correcta. En cuanto al por qué, esto sucede pues, como te dije la vez anterior, para que una función sea continua, el límite en el punto debe ser igual al valor funcional del mismo.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 4 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} c = 4 \Rightarrow c = 4$

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ - } f(x) = 4^ - \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ + } f(x) = 4^ + \\ \end{array}$
Espero haber sido lo suficientemente claro. Cualquier duda, pregunta que no hay problema,
Saludos

Duncan · Registrado: 23 Abr 2011 Mensajes: 61

o sea, que si $c \neq{4}$ ese "salto" ¿hace que no sea continua?

No llego a entender bien cuando es continua o discontinua y cuando tiene límite o no. Además, no se bien cuando es $\infty$ o no, y si cuando en vez de $\infty$ resulta que tiene un límite.

Solo entiendo bien lo que es una asíntota y los mínimos y máximos relativos que es algo lógico.