Foro de Matemáticas

Bele · Registrado: 03 Feb 2009 Mensajes: 16

Hola! necesito ayuda para calcular las distintas derivadas de una funcion, preferi subir un archivo de imagen, con los datos del problema.
Les cuento la idea es obtener el polinomio de Taylor de orden 2 en x=2 de G(x)..... Supuestamente sin obtener la expresion analitica de la funcion, sin embargo la busque para verificar... evidentemente algo hice mal. La funcion f(x) es 1/3*x^3-x^2-1/3*x+1; y el polinomio correcto de orden 2 en x=2 es P2(x)=4*x-8-5/3*(x-2)^2. Personalmente fallo al obtener la segunda derivada.
Por favor!!!! ayundeme...
Muchas gracias, saludos!

CesarABB · Registrado: 12 Feb 2009 Mensajes: 21

Dime, en la segunda derivada te resultó esta expresión:

2*f(x^2-4) + 4*(x^2)*f'(x^2-4)

Bele · Registrado: 03 Feb 2009 Mensajes: 16

Si, eso me da la segunda derivada...
He estado pensando que el problema surge de que utilizando unicamente el grafico no se puede resolver.. pues, si bien la expresion de la funcion graficada es correcta... en la grafica que me dieron se ven valores como f'(0)=0 cuando en realidad no lo es...
Mañana tengo que consulta (pues rindo coloquio)... asi que espero eliminar la duda... Igualmente, muchisimas gracias... pues eres el unico que me respondio!!!! en verdad...GRACIAS, exitos y Saludos!!!

Epsilón5 · Registrado: 28 Nov 2008 Mensajes: 179 Votos: 6

_Ya veo que tienes la primera derivada, pero... ¿Por qué no sustituyes el valor de f(x^2 - 4)

en la expresión para que así puedas derivar?

$G\left( x \right) = \displaystyle\int\limits_0^{x^2 - 4} {f\left( t \right)dt} \quad \Rightarrow \quad \displaystyle\frac{d}{{dx}}\left[ {G\left( x \right)} \right] = 2xf\left( {x^2 - 4} \right)$

$f\left( x \right) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - \frac{1}{3}x + 1\quad \Rightarrow \quad f\left( {x^2 - 4} \right) =$ $\frac{1}{3}x^6 - 5x^4 + \frac{{71}}{3}x^2 - 35$

$\Rightarrow \quad \displaystyle\frac{d}{{dx}}\left[ {G\left( x \right)} \right]$ $= \frac{2}{3}x^7 - 10x^5 + \frac{{142}}{3}x^3$ $- 70x\quad \Rightarrow \quad \displaystyle\frac{{d^2 }}{{dx^2 }}\left[ {G\left( x \right)} \right]$ $= \frac{{14}}{3}x^6 - 50x^4 + 142x^2 - 70$

_Como notarás, en este desarrollo no he necesitado integrar explícitamente la función. Claro está, también puedes usar el desarrollo siguiente (los valores se pueden determinar por simple inspección del polinomio):

G(2)=0

;

;
$G''(2)=2f(2) + 4^2f'(0)=-2 - \frac{16}{3} = - \frac{22}{3}$

_El polinomio de Taylor buscado vendría siendo:

$P_2 \left( x \right) = 4\left( {x - 2} \right) - \frac{{11}}{3}\left( {x - 2} \right)^2 \quad \Rightarrow \quad P_2 \left( x \right) = - \frac{{11}}{3}x^2 + \frac{{56}}{3}x - \frac{{68}}{3}$

[Por cierto, tienes razón en cuanto a la gráfica: ésa no es la gráfica de

.]

[Saludos]

Bele · Registrado: 03 Feb 2009 Mensajes: 16

Muchas gracias por las respuestas. La ultima aun no la examino, pues estoy en un cyber(local comercial)... asi que lo bajo y lo reviso luego. Igualmente muchas gracias....
Ya rendi... y aprobe!!!! !!! !!!
Gracias y saludos....!!!