Foro de Matemáticas

Gulam-e-Rasool · Registrado: 05 Ene 2012 Mensajes: 11

Determina el valor de a por el cual la integral $\displaystyle\int_{0}^{a}x(x-3)^2$ represente la área de un recinto limitado por una curva y por el eje OX. Cuál es la ecuación de la curva?

He empezando calculando la primitiva, pero aún así, no me sirve de mucho.

Ideas?

Muchas gracias!

matesfacil2 · Registrado: 13 Ene 2012 Mensajes: 7

Qué pasa contigo? No atiendes en clase o qué?? xd

$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) dx$ representa el área encerrada entre la gráfica de

y el eje

entre las abscisas x=a

y

si

ó

.
Si suponemos que f(x)>=0

, la integral te da positiva (la región cuyo área calculas está por encima del eje

. Si suponemos lo contrario, la integral te da negativa (la región está por debajo), luego tienes que cambiarle el signo.

Ahora bien, ¿qué ocurre cuando es positiva y negativa?

Pues que la integral te calcula el área que en las regiones que están por encima y las que están por debajo del eje OX y las suma. Bien, es lo que quieres, pero como en las regiones que de abajo tienen área negativa y las de arriba positiva, al sumarlas, el área que obtines es menor...

Pues muy fácil, buscas las regiones de arriba y las de abajo y las calculas por separado.

En tu ejercicio, la función no es sólo positiva o negativa. Si calculas la integral, calculas el área entre 0 y "a". Para ello tienes que asegurarte de que en este intervalo la región es positiva (si es negativa, el resultado será negativo y el área no puede ser negativa. Como te dicen que la integral representa el área, supongo que sólo quieren que veas el caso en que es positiva. Si no es así, sólo hay que cambiarle el signo).

Buscas las raíces: por la forma de la función, son x=0 y x=3. Luego tienes que ver si la función es positiva en [0,3] y tabién en [3,+infinito[. Si en el primer intervalo es negativa, la integral no representa el área porque saldría negativa para valores de a<=3 (sería el área en negativo).

Si la integral es positiva, si a<=3, representa el área.

Si a partir de x=3 la función es negativa, si a>=3, el resultado será menor que el área de la suma de las regiones.

Pero, si a partir de x=3 la función también es positiva, es decir, que en x=3 sólo tiene un mínimo local y no un punto de cambio de signo, no hay problemas en que "a" sea ]a>=3 ya que no hay ninguna región por debajo del eje.

Bueno, supongo que lo has entendido. Si no tienes que tener en cuenta el signo, es parecido, pero con mas casos. Si "a" puede ser a<=0, cambiando el orden de los extremos de integración, es análogo.

Ya que estamos, la solución a tu problema: "a" puede ser cualquier número positivo (considerando que la integral representa exactamente el área, o sea, que el signo tiene que ser positivo). Además, "a" no puede ser infinito ya que para esta función, el área sería infinita.

Bueno, también te preguntan cuál es la curva. Evidentemente, es f(x)=x(x-3)^2

Gulam-e-Rasool · Registrado: 05 Ene 2012 Mensajes: 11

Sí, la verdad es que no me entero mucho en la clase, aunque pongo interés, claro.

Gracias por tu explicación, es magnífica. Yo solo quería saber como empezar, en fin, esto esta mucho mejor.