Foro de Matemáticas

petaca · Registrado: 03 May 2008 Mensajes: 2

quisiera saber como hago esta integral compleja

$\int\limits_0^{2pi} {e\^(e\^it)dt}$

lopcon · Registrado: 29 Mar 2008 Mensajes: 8

petaca · Registrado: 03 May 2008 Mensajes: 2

por ejemplo Z= e^it

estoy un poco olvidado, en general como se hace el cambio de variable.

MagnaGenta · Registrado: 30 Dic 2007 Mensajes: 203 Votos: 2

_Primero hacemos el siguiente arreglo:

$\displaystyle\int\limits_0^{2\pi } {e^{e^{i\theta } } d\theta } = \displaystyle\int\limits_0^{2\pi } {\left( { - ie^{ - i\theta } e^{e^{i\theta } } } \right)ie^{i\theta } d\theta }$

_Luego hacemos la sustitución:

$\begin{gathered} z = e^{i\theta } \quad \Rightarrow \quad dz = ie^{i\theta } d\theta \hfill \\ \Rightarrow \quad \displaystyle\int\limits_0^{2\pi } {e^{e^{i\theta } } d\theta } = - i\displaystyle\oint_C {\frac{{e^z }} {z}dz} \hfill \\ \end{gathered}$
, donde

es la circunferencia unidad:

$C:z = e^{i\theta } ,\;0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi$

_Ahora podemos aplicar el teorema del Residuo a la función:

$f\left( z \right) = \displaystyle\frac{{ - ie^z }} {z}$

_El único polo que posee dentro de la circunferencia es 0, que es simple. Por lo que tendremos:

$\displaystyle\int\limits_0^{2\pi } {e^{e^{i\theta } } d\theta } = - i \displaystyle\oint_C {\frac{{e^z }} {z}dz} = 2\pi i \cdot \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \left[ {z \cdot f\left( z \right)} \right] = 2\pi \left( {\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} e^z } \right) = 2\pi$

_Et ce fini!

[Pasando por alto los tecnicismos, podríamos haber usado la expansión en series de Maclaurin para la exponencial; de esta forma no sería necesario el teorema del Residuo.]

$\displaystyle\int\limits_0^{2\pi } {e^{e^{i\theta } } d\theta } = 2\pi + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1} {{n!}} \displaystyle\int\limits_0^{2\pi } {e^{ni\theta } d\theta } } = 2\pi$

[E-5]