Foro de Matemáticas

eskainet · Registrado: 03 Abr 2010 Mensajes: 3

1.-Ayudenme por favor a resolver lo siguiente, sea

el grupo de los enteros con la adicion como operacion,y
H _ n

, el subgrupo consistente en todos los multiplos de un entero fijo

.
Determinar el indice de H _ n

en

2.-De acuerdo a este problema ¿que es $H _ n \cap{H _ m}$ ?.Gracias.

Miguelangel · Registrado: 03 Oct 2010 Mensajes: 4

si el indice se refiere al menor numero natural i tal que n ^ i=1, esta claro que el indice (orden) es infinito, y la interseccion será el subgrupo (ideal con la estructura natural de anillo en z) generado por los multiplos de el minimo comun divisor de m y n (interseccion de ideales de toda la vida)

C_Lambda · Registrado: 26 Sep 2010 Mensajes: 81

Ten en cuenta que el indice es el numero de clases de dicho cociente, y dos elementos están relacionados en este caso si y solo si su diferencia está en el conjunto H, es decir si su diferencia es múltiplo de n. Esto hace un total de n clases que serán {[0],[1],.....,[n-1] la clase del n ya sería la del 0 la del n+1 sería la del [1] etc. Bien, con esto es fácil concluir que el índice de G/H_n

es exactamente n.

Para el segundo apartado basta ver que la intersección de los múltiplos de n con los múltiplos de m son aquellos elementos que son múltiplos de ambos siempre y cuando m y n sean coprimos. Si no evidentemente será el producto de los factores primos de cada uno de los elementos m y n elevados a la potencia mas alta en la que aparecen.

Para ilustrarlo con varios ejemplos:

$H_2\cap{}H_2 = H_2$ Pues el único factor primo es 2 y la potencia mas alta es 1.

$H_2\cap{}H_3 = H_6$ (no ofrece dudas)

$H_{15} \cap{} H_{18} = H_{90}$ es decir se consideran 3^2

,

y

Un saludo.

Miguelangel · Registrado: 03 Oct 2010 Mensajes: 4

Vamos, los multiplos del minimo comun multiplo

eskainet · Registrado: 03 Abr 2010 Mensajes: 3

Gracias compañeros del foro por su respuesta