Foro de Matemáticas

A77ak121517 · Registrado: 13 Dic 2011 Mensajes: 1

Buenas, soy nuevo en el foro asi que voy a tratar de hacerlo lo mas claro posible.

El ejercicio dice:

Se considera la función $f : A\rightarrow{} f(A)$ definida por $(u,v) = f(x,y) = (e^{x+y}cosy, e^{x+y}seny)$ , siendo A un entorno de $(- \pi, \pi)$ donde

es inyectiva. Sea f^-1

la inversa de

. Entonces el valor de $\frac{{\partial f^-1}}{{\partial v}} (-1,0)$ es:

La solución es (-1,0).
Yo lo hice de la siguiente manera:

$f_x = e^{x+y}cosy$
$f_y = e^{x+y}cosy - e^{x+y}seny$

Siendo las derivadas parciales de la primer coordenada.

$f_x = e^{x+y}seny$
$f_y = e^{x+y}seny + e^{x+y}cosy$

Siendo las derivadas parciales de la segunda coordenada.

Calculo su matriz Jacobiana en $(- \pi, \pi)$ :

$J_{(- \pi, \pi)} = \left[{\begin{matrix}{-1}&{-1}\\{0}&{1}\end{matrix}\right]$

Y por último hallé su matriz inversa mediante esta fórmula:

$Si A = \left[{\begin{matrix}{a}&{b}\\{a}&{b}\end{matrix}\right], entonces A^{-1} = {\frac{1}{ad-bc} \left[{\begin{matrix}{d}&{-b}\\{-c}&{a}\end{matrix}\right]$

$J(-1,0) = J^{-1}(-\pi.\pi) = \frac{1}{-1} \left[{\begin{matrix}{1}&{1}\\{0}&{-1}\end{matrix}\right] \Longrightarrow{} J(-1,0) = \left[{\begin{matrix}{-1}&{-1}\\{0}&{1}\end{matrix}\right]$

Por lo que deduje de ahí que $\frac{{\partial f^-1}}{{\partial v}} (-1,0) = (-1,1)$ ya que la segunda columna de la matriz son las respectivas derivadas parciales de v, la segunda coordenada de la función inversa.
Alguien me puede explicar que es lo que esta mal?
Desde ya gracias y saludos, tengo el exámen el sábado :)

matesfacil · Registrado: 30 Dic 2011 Mensajes: 11

Antes de todo, decirte que sería mejor que escribieses
$f_{i,x}$ y $f_{i,y}$ para referirte a la derivada de la cordenada

respecto de

o

, puede que el error lo hayas tenido al confundirte a la hora de sustituir los valores en las derivas.

El procedimiento está bien, pero $f_{2,y}(-\pi,\pi)=sin(\pi)+cos(\pi)=0-1=-1$ y no

. Luego la matriz jacobiana en dicho punto es

$\left[{\begin{matrix}{-1}&{-1}\\{0}&{-1}\end{matrix}\right]$

Y, por tanto, su inversa es

$\left[{\begin{matrix}{-1}&{1}\\{0}&{-1}\end{matrix}\right]$

de donde $\frac{df^-1}{dv}(-1,0)=(1,-1)$ (considerando que

es la segunda variable de la inversa).