Foro de Matemáticas

anasan · Registrado: 19 Ene 2011 Mensajes: 3

Hola, tengo una duda en los apuntes tomados en clase.
Después de la definición de esp. topológico (X,T) se dice que los elementos de T se llaman abiertos y sus complementarios cerrados.
Mi duda está en la siguiente equivalencia:
A pertenece a T <---> A es abierto en T
Esta equivalencia se refiere a que es lo mismo decir A pertenece a T que decir que A es abierto en T o, si no, que significa "ser abierto en T".
Además tengo copiado (0,1) \subset{(R, Tu)} no es abierto ni cerrado. Me podéis explicar esto último.
Gracias.

C_Lambda · Registrado: 26 Sep 2010 Mensajes: 81

Buenas.

Si A es abierto en el espacio topológico (X,T), entonces es lo mismo decir que A es un elemento de la topología, es decir, que A pertenece a T. son equivalentes por definición. En otras palabras, a los elementos de una topología se los llama abiertos.

Ahora bien, los cerrados son los conjuntos complementarios de los abiertos. Un cerrado puede ser abierto a la vez. Esto ocurre siempre en la topología trivial por ejemplo, es decir, en la topología trivial todos los abiertos son cerrados y viceversa. Siempre además el total y el vacío son abiertos y cerrados. Por otra parte hay conjuntos en ciertas topologías que solo son abiertos, no cerrados, y otros que solo son cerrados pero no abiertos. Pues bien, además, hay conjuntos, que ni son abiertos ni son cerrados. Es decir, ni están en la topología T, ni son complementarios de un elemento de la topología T. Por ejemplo tu caso.

En $\mathbb{R}$ con la topología inducida por la métrica del valor absoluto, (topología usual), [0,1) no sería ni abierto, ni cerrado.

Saludos.