Foro de Matemáticas

movilcillo · Registrado: 18 Dic 2011 Mensajes: 1

Muy buenas compañeros, estoy intentando realizar un problema, y soy incapaz, me podeis echar una mano?
ahi va:
- Dda la función y= x^2 -4x +3, encuentra un punto de su gráfica en el cual la recta tangente a ella sea paralela a la secante a la curva en los puntos de abscisas x=1 y x=4.

A alguien se le ocurre como puede ser?
Gracias anticipadas

ferry91 · Registrado: 18 Abr 2009 Mensajes: 224 Votos: 2

Tenemos la situación que se muestra en la imagen adjunta. Simplemente he representado gráficamente la parábola, y he calculado la recta que pasa por los puntos x = 1 y x = 4. Esto se hace simplemente obteniendo la otra coordenada del punto es decir:

y(1) = 1^2 - 4*1 + 3 = 0

Así tenemos los puntos por los que pasa la recta. Una vez tenemos esto, podemos calcular el pendiente de dicha recta para obtener la recta paralela a ella, ya que, dos rectas son paralelas si y solo si tienen el mismo pendiente.

Así pues, calculamos el pendiente de la recta:

$m = \displaystyle\frac{0-1}{3-4}= \displaystyle\frac{-1}{-1} = 1$

Así pues, buscamos la recta tangente a la parábola con pendiente 1. Como simplemente nos piden el punto de tangencia, y sabemos que la derivada de la función en un punto, es igual el pendiente de la recta tangente en dicho punto, calcularemos la derivada de la función en un punto "a" cualquiera.

$f'(x) = 2x-4 \Longrightarrow{} f'(a) = 2a-4$

Sabemos el pendiente por tanto igualamos y obtendremos la abscisa del punto de tangencia:

$2a-4 = 1 \Longrightarrow{} a = \displaystyle\frac{5}{2}$

Calculamos la coordenada "y" del punto:

$y(5/2) ={\left( {\displaystyle\frac{5}{2}} \right)^2} -4\displaystyle\frac{5}{2} + 3 = \displaystyle\frac{-3}{4}$

Ahora ya hemos acabado el ejercicio, pero si queremos podemos comprobar que la recta sea realmente tangente a la parábola y paralela a la otra recta. Primeramente calculamos la ecuación de la recta, usando la fórmula de la recta tangente:

y - f(a) = f'(a)(x-a)

Como conocemos "a" y "f(a)", hacemos:

f'(5/2) = 1

$y = (x-\displaystyle\frac{5}{2}) - \displaystyle\frac{3}{4} = x-\displaystyle\frac{13}{4}$

Observa la imagen 2, donde se ven las 2 recta representadas.

Espero haberte ayudado.

Un saludo!