Foro de Matemáticas

guadalupega · Registrado: 02 Mar 2011 Mensajes: 13

Hola, No se como plantear la solución al siguiente problema, Gracias por su ayuda.
Hallar una ecuación para el plano que contiene a las rectas l(t)=(0,1,-2)+t(2,3,-1) y l(t)=(2,-1,0)-t(2,3,-1).

Se que para hallar la ecuación de un plano solo es necesario encontrar un punto que este en el plano y un vector perpendicular a este. ¿Cómo hallo ese vector perpendicular?

cv · Registrado: 25 Sep 2010 Mensajes: 550 Votos: 5

Solo te doy una pequeña ayuda (pues deberia ponerme a pensar un poco mas el problema) diciendote que si 2 rectas a, b se encuentran en un plano la recta perpendicular al mismo es la multiplicacion vectorial de axb o sea:

h = a x b donde h es el nuevo vector perpendicular al plano

fijate aqui para que te quede claro con el grafico y la manera de proceder para obtener el vector h

http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_vectorial

Saludos.

guadalupega · Registrado: 02 Mar 2011 Mensajes: 13

Hola, Las dos rectas del problema son paralelas (ya que la dirección, para ambas rectas está dada por el vector (2,3,-1)) entonces su producto cruz es cero, así que no puedo hallar el vector perpendicular al plano procediendo de esa manera.
Entonces ¿Como hallo ese vector perpendicular?
Muchas gracias por sus aportaciones

cv · Registrado: 25 Sep 2010 Mensajes: 550 Votos: 5

hola, entrando especificamente en tu problema yo veo que

l(t)=(0,1,-2)+t(2,3,-1) y
l(t)=(2,-1,0)-t(2,3,-1) (vamos a llamar a este v(t) )

son dos vectores que dependen de un parametro t donde por ej si t=0

l(0)=(0,1,-2) <> v(0)=(2,-1,0)

o por ej. si t=1

l(1)=(0,1,-2)+(2,3,-1) <> v(1)=(2,-1,0)-(2,3,-1)

creo, que puedes multiplicar vectorialmente, aunque aqui debera salir un vector h(t), voy a ver como se puede hacer esto y tal vez vuelva a postear una rta.
Saludos.

cv · Registrado: 25 Sep 2010 Mensajes: 550 Votos: 5

O sea para agregar algo mas, yo entiendo que, si por ej. el parametro t fuese el tiempo tenemos entonces que los vectores van variando en funcion del tiempo y que en un determinado momento (t) ambos determinan un plano que sera diferente para un determinado momento posterior (t+dt), etc, etc.

cv · Registrado: 25 Sep 2010 Mensajes: 550 Votos: 5

Hola guadalupega, si esto es tal como yo lo interpreto o sea vectores en funcion de un cierto parametro t tu tienes:

l(t)=(0,1,-2)+t(2,3,-1) y
v(t)=(2,-1,0)-t(2,3,-1)

que se puede expresar asi

l(t) = (2t+0) + (3t+1) + (-1t-2)

v(t) = (-2t+2) + (-3t-1) + (1t+0)

cada parentesis representa el modulo de los vectores i,j,k , luego tu puedes multiplicar vectorialmente y obtienes

h(t) = l(t) x v(t)

Saludos.

matematico37 · Registrado: 05 Mar 2011 Mensajes: 1 Votos: 1

Solo como comentario, si dices que ambas rectas son paralelas entonces la ecuación de tu degunda recta debería ser

l(t)=(2,-1,0)+t(2,3,-1)
y no:
l(t)=(2,-1,0)-t(2,3,-1)
Además en el comentario de arriba multiplicaron la segunda y tercer coordenada, y debería ser signo una suma

guadalupega · Registrado: 02 Mar 2011 Mensajes: 13

Gracias por el comentario matemático 37, es cierto lo que mencionas,la ecuación de la segunda recta es l(t)=(2,-1,0)+t(2,3,-1), para que así el vector de dirección de la recta sea el vector (2,3,-1). Creo que esto modifica la solución.
Además, también creo que l(t) se expresa como:
l(t)=(2 +2t, -1 +3t,-t) o bien como: l(t)=(2+2t)i + (-1+3t)j +(-t)k, donde i,j,k son los vectores unitarios

cv · Registrado: 25 Sep 2010 Mensajes: 550 Votos: 5

Perdon, me habia comido el +.

La forma en que expresas el vector no esta bien pues te comes algun signo , pero yo me base en los 2 vectores no paralelos que vos pusistes cuando abristes el debate.

Espero que hayas podido solucionar el problema.

Saludos.

cv · Registrado: 25 Sep 2010 Mensajes: 550 Votos: 5

Creo que la pista la puedes encontrar en la derivada del vector o sea d[l(t)]/dt