Foro de Matemáticas

rgroburo · Registrado: 17 Mar 2011 Mensajes: 32

Hola a todos, miren es q tengo una duda que seguramente es una tonteria pero haber si alguien me hace el favor y me la puede responder...

La duda es la siguiente: Tengo la inecuacion x/(x-5) >= 1/4 entonces se que la solucion es: (−∞,−5/3] U [5,∞) pero no lo entiendo porque al despejar en la inecuacion: x >= (1/4)x - (5/4) ; (4x-x)/4 >= - (5/4) ; da x >=-5/3

Entonces no lo comprendo... Entiendo que dando valores la inecuacion no se cumple si -5/3<x y x>5 pero porque al despejar da esa solución?

Gracias de antemano y un saludo sois siempre de gran ayuda!!

matesfacil · Registrado: 30 Dic 2011 Mensajes: 11

Tienes una inecuación... sabes, o derías, que si la multiplicas por un número negativo, el signo cambia (de mayor a menor y viceversa). Por tanto, no puedes multiplicar por ejemplo, por x-5, que es lo que tú has hecho, ya que no sabes si x-5 es positivo o negativo. Entonces no sabes si el signo cambia o no.
Cómo proceder?? Pues puedes distinguir casos. Pero también puedes evitar multiplicar por números cuyo signo no conoces:
x/(x-5)>= 1/4 ----> 4x/(x-5) >= 1 (no cambia el signo porque 4 es positivo) ------> 4x/(x-5)-1 >= 0 -----> (4x-x+5)/(x-5) >= 0 ---> (3x +5) / (x-5 ) >= 0

Y ahora es fácil, cuándo un cociente es positivo? cuando numerador y denominador tienen el mismo signo: ambos negativo o ambos positivos. ¿Es posible? Cuándo se da la igualdad? Cuando el numerador es cero.

3x + 5 >= 0 & x-5 > 0 (la igualdad no porque no podemos dividir entre cero) -----> x>=-5/3 & x>5
Han de cumplirse las dos, por tanto, si x>5, es solución.

3x + 5 <= 0 & x-5 < 0 -----> x <= -5/3 & x<5 ----> x<=-5/3

En otro caso, el denominador es positivo y el numerador negativo o viceversa, por tanto, no se cumple la desigualdad.

Las soluciones son, expresador en intervalos: x<=-5/3 ---> ]- infinito , -5/3]

y x>5 ----> ]5, infinito [

Sabiendo que la solución incluye x=5 supongo que tu inecuación inicial no estaba expresada en forma racional. En ese caso, estudias si la inecuación se cumple para los valores que anulan el denominador, es decir, x=5.

En fin, si la inecuación inicial es x/(x-5)>=1/4, las soluciones son ]-infinito ,-5/3] U ]5, infinito [.

rgroburo · Registrado: 17 Mar 2011 Mensajes: 32

gracias por responder matefacil pero hay una cosa que no entiendo como sacas la solucion final, es decir, llegas a la conclusión de que ambos ( numerador y denominador) tienen que tener el mismo signo y luego aplicas cada caso ( o los dos negativos o los dos positivos) pero te dan soluciones distintas no? como sacas la solución final?

Gracias de nuevo!

matesfacil · Registrado: 30 Dic 2011 Mensajes: 11

Realmente no comprendo tu pregunta.
Todos los valores de ambos intervalos son LA solución. Cuando tienes una ecuación (o inecuación), tú propósito es averiguar para qué valores de la incógnita (x) se verifica la ecuación (o inecuación).
Puede no existir solución (nunca se verifca) como, x^2<0 (en el caso de que x sea real), haber una, dos, tres....... o infinitas. En este caso hay infinitas.
Para que x sea solución de la anterior, denominador y denominador tienen que tener el mismo signo, independientemente de si es negativo o positivo (o el numerador 0). Los valores que cumplen esto (alguna de estas condiciones) son la solución. Y la solución es el conjunto de todas ellas.
Entonces tienes que buscar qué valores lo cumplen. Distinguimos casos porque para cada caso hay unos valores que lo cumplen.
No sé si era ésto lo que preguntabas... si no, pregunta de nuevo e intenta ser más específico.

rgroburo · Registrado: 17 Mar 2011 Mensajes: 32

No no era eso, mira matesfacil me refiero a esto que tu has puesto:

Si los dos son positivos:
3x + 5 >= 0 & x-5 > 0 -----> x>=-5/3 & x>5

Si los dos son negativos:
3x + 5 <= 0 & x-5 < 0 -----> x <= -5/3 & x<5 ----> x<=-5/3

Entonces te dan soluciones distintas en la primera te da:
x>=-5/3 & x>5
y en la segunda:
x <= -5/3 & x<5 ó lo que es lo mismo ]-infinito ,-5/3] U ]5, infinito [.

Entonces como sabes que es la segunda?
No se si me he explicado gracias de nuevo y perdona las molestias.

matesfacil2 · Registrado: 13 Ene 2012 Mensajes: 7

Creo que no te entiendo. A ver, las soluciones son, por un lado:

x>=-5/2 & x>5, puesto que -5/2<5 y ha de ser x>5 y x>=-4/2, las soluciones son ]5, infinito[

Por otro lado, las soluciones son:

x<=-5/3 & x<5, puesto que -5/3<5 y ha de ser x<5 y x<=-5/3, las soluciones son ]-infinito, -5/3]

Tenemos dos conjuntos de puntos que cumplen la inecuación. Por tanto, los puntos de la unión de los dos conjuntos la cumplen también. Es decir, la solución es la unión.
No sé a qué te refieres con la segunda. No hay segunda ni primera, ambos intervalos son solución.... :S

rgroburo · Registrado: 17 Mar 2011 Mensajes: 32

vale vale perdona matesfacil ya lo he entendido sin duda una explicacion genial
mil gracias!