Foro de Matemáticas

rosana_2 · Registrado: 11 Dic 2011 Mensajes: 2

Hola, no veo la forma de llegar a simplificar esta operación combinada, para llegar al resultado simplificado que me da la calculadora gráfica classpad300.
Este es el ejercicio.

$(15\sqrt[2]{3}+26)^{1/3}$

operación simplificada según la classpad

$2+\sqrt[2]{3}$

Agradeceria si me explicaran como puedo llegar a esa simplificación, que me da la calculadora.

Gracias y Enhorabuena por el foro.
Rosana

ferry91 · Registrado: 18 Abr 2009 Mensajes: 224 Votos: 2

Bueno, es algo complejo y reconozco que me ha costado lo mio. A ver si logro hacer que lo entiendas.

Primero cogemos el interior de la raíz cúbica, es decir, $15\cdot{}\sqrt[ ]{3} + 26$ y lo modificamos de la siguiente forma:

$15\cdot{}\sqrt[ ]{3} + 26 = 8 +12\cdot{}\sqrt[ ]{3} + 18 + 3\cdot{}\sqrt[ ]{3}$

De modo que simplemente hemos separado 26 = 8 + 18 y 15 = 12+3.
El siguiente paso es:

$8 +12\cdot{}\sqrt[ ]{3} + 18 + 3\cdot{}\sqrt[ ]{3} = 2^3+3\cdot{}2^2\cdot{}\sqrt[ ]{3}+3\cdot{}2\cdot{}\sqrt[ ]{3^2} + \sqrt[ ]{3^3}$

Para que entiendas este paso voy a intentar desglosarlo:

2^3 = 8

Este está claro

$3\cdot{}2^2\cdot{}\sqrt[ ]{3} = 12\cdot{}\sqrt[ ]{3}$

$3\cdot{}2\cdot{}\sqrt[ ]{3^2} = 18$ Ya que raiz de 3 al cuadrado es 3

$\sqrt[ ]{3^3}= 3\cdot{}\sqrt[ ]{3}$ Sacando un 3 al cuadrado fuera de la raíz

Así pues, podemos utilizar la identidad notable siguiente para simplificar el resultado:

(a+b)^3=a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3

En nuestro caso a = 2

y $b = \sqrt[ ]{3}$

De modo que podemos reducir la expresión a:

$(2+\sqrt[ ]{3})^3$

Si ahora hacemos la raíz cúbica, obtenemos:

$\sqrt[3]{(2+\sqrt[ ]{3})^3} =2+\sqrt[ ]{3}$

Espero que lo hayas entendido.

Un saludo!

rosana_2 · Registrado: 11 Dic 2011 Mensajes: 2

Muchas Gracias ferry !!!, lo has explicado y lo entiendo perfectamente, la verdad que hay pasos que no se me hubieran ocurrido, Gracias por tu trabajo y esfuerzo.
Un Saludo.
Rosana