Foro de Matemáticas

André · Registrado: 30 Jun 2008 Mensajes: 135

Revisando un libro que tengo en casa (más específicamente, el Calculus de Tom Apostol) encontré un método muy interesante para derivar funciones. Se trata, como lo indica el título de este thread, de la derivación logarítmica.

A continuación, una reseña de lo que encontré:
El método fue desarrollado por Johann Bernoulli y su fundamento es una hábil aplicación de la regla de la cadena.

Sea la función L_0

definida, para todos los números reales $x \neq{0}$ , como $L_0(x)=\ln \left |{x}\right |$ . Formemos la función

, compuesta de L_0

y

, donde

es una función derivable cualquiera, así:

$g=L_0 \circ{f}$ . Esto es, ${g(x)=L_0[f(x)]=\ln \left |{f(x)}\right | }$ .

Derivemos

aplicando la regla de la cadena:

$g ^{\prime}(x)=L_0 ^{\prime} [f(x)] \cdot{f ^{\prime} (x)} = \displaystyle\frac{f ^{\prime} (x)}{f(x)}$ .

Así, podremos obtener $f ^{\prime} (x)$ sin más que multiplicar $g ^{\prime} (x)$ por f(x)

.
Este método es muy útil cuando

es el producto o cociente de varias funciones simples. Veámoslo con un ejemplo:

Calcular $f ^{\prime} (x)$ si $f(x)=x^2 \cos x(1+x^4)^{-7}$ .

Tomamos el logaritmo natural del valor absoluto de f(x)

y luego derivamos.

$g(x)=\ln \left |{f(x)}\right | =\ln x^2+\ln \left |{\cos x}\right | +\ln (1+x^4)^{-7}$ $=2\ln \left |{x}\right |+\log \left |{\cos x}\right | -7\ln(1+x^4)$ .

Derivamos:

$g ^{\prime} (x)= \displaystyle\frac{2}{x} -\frac{\sin x}{\cos x} - 28\frac{x^3}{1+x^4}$ .

Multiplicamos por f(x)

:

$f'(x)= \displaystyle\frac{2x\cos x}{(1+x^4)^7}-\frac{x^2\sin x}{(1+x^4)7}} - 28\frac{x^5\cos x}{(1+x^4)^8}$ .

Ojalá les haya servido de algo.

Salu2.

Tesserack · Registrado: 04 Mar 2009 Mensajes: 57

Multiplicamos por f(x)

:

$f'(x)= \displaystyle\frac{2x\cos x}{(1+x^4)^7}-\frac{x^2\sin x}{(1+x^4)7}} - 28\frac{x^5\cos x}{(1+x^4)^8}$ .

Ojalá les haya servido de algo.

Salu2.[/quote]

Muy interesante. Es el metodo que mas utilizo.
Solo arreglare algo en tu respuesta final, en el segundo termino el exponente 7.

$f'(x)= \displaystyle\frac{2x\cos x}{(1+x^4)^7}-\frac{x^2\sin x}{(1+x^4)^7}} - 28\frac{x^5\cos x}{(1+x^4)^8}$ .

Te saludo.
Gracias.