Foro de Matemáticas

pinkrose · Registrado: 23 Oct 2011 Mensajes: 1

Hola buenas estoy en primero de carrera y nos han dado una serie de ejercicios y hay uno que no consigo sacar, por más que miro mis apuntes y lo intento sacar no lo consigo, y no puedo seguir hasta que no lo entienda agradeceria la explicación.

El ejercicio es el siguiente:

Demuestra que \sqrt[ ]{2} - \sqrt[ ]{3} es irracional y que 1 - \sqrt[3]{2+} \sqrt[ ]{5} es algebraico.

No se si lo he escrito bien, por si acaso en palabras es: Demuestra que raiz de dos menos raiz de tres es irracional y que uno menos raiz cubica de dos mas raiz de cinco es algebraico.

Gracias y un saludo!

airbus380 · Registrado: 31 Mar 2010 Mensajes: 180 Votos: 3

a ver lo intento con el 1º
en primer lugar y para que sea mas comodo de escribir cuando poga R2 me refiero a la raiz de 2 y asi sucesivamente jeje
supongamos que R2-R3 sea racional entonces se podra poner como m/n donde m y n son primos entre si (si no lo son pues se reduce la fraccion y ya lo seran)
por lo tanto m y n no pueden tener divisores en comun.
elevando al cuadrado tenemos
R6-1=m2/n2
o lo que es lo mismo
R6=(m2+n2)/n2
elevando al cuadrado otra vez
6=(m4+n4+2m2n2)/n4

y esto deberia ser un absurdo y ya quedaria demostrado que R2-R3 es irracional
se me ocurre ponerlo como:
5=(m/n)^4+2(m/n)^2
y si sacamos factor comun:
5=(m/n)^2[(m/n)^2+2]

todas las cosas (o muchas) de demostrar si un nº es o no irracional empiezan su demostracion de forma parecida a esta...a mi no me sale nada de momento mejor (y de momento no he demostrrado nada) pero quiza es un buen punto de comienzo para futuras demostraciones jeje

Un saludo