Foro de Matemáticas

nova · Registrado: 08 Jun 2010 Mensajes: 3

¿Alguien me puede dar una demostración de que el disco unidad D(0,1) conla métrica euclídea no es completo? Gracias.

C_Lambda · Registrado: 26 Sep 2010 Mensajes: 81

Voy a considerar que el disco unidad está en $\mathbb{R}^n$ y por tanto lo voy a tratar como la bola B(0,1) con la métrica euclídea en $\mathbb{R}^n$ . (Considerando el 0 como el elemento (0,.......,0)

de $\mathbb{R}^n$

Ahora un poco el artificio consiste en lo siguiente. construimos un espacio métrico de la siguiente forma (B(0,1),M) donde M es la métrica euclidea. Observemos que B(0,1) es totalmente acotado, puesto que para cada r>0 es posible encontrar unos elementos ${x_1,.......,x_n}$ incluidos en B(0,1) tal que B(0,1) está contenido en la unión de las bolas de centro los x_i

y radio r.

Si fuese completo, por el teorema de Heine-borel B(0,1) debería ser compacto, pero precisamente el teorema de Heine-borel establece que un conjunto es compacto en $\mathbb{R}^n$ si y solo si es cerrado y acotado, y puesto que B(0,1) no es cerrado concluimos que B(0,1) no es compacto y por tanto no es completo.

Nota: Aunque parezca que no se usa M se usa, pues si cambiamos la métrica podría ocurrir que B(0,1) fuese cerrado, y por tanto podría ser completo.

Saludos.