Foro de Matemáticas

Athina · Registrado: 30 Mar 2010 Mensajes: 5

Buenas tardes.

¿Alguien sabe cómo se deduce la fórmula de las combinaciones con repetición de N elementos tomados de n en n?

$CR _ {N,n}= \left({\begin{array}{ccc} N+n-1 \\ n \end{array}\right)= \displaystyle\frac{(N+n-1)!}{(N-1)! n!}$

No lo he encontrado en mis libros ni en internet.

Me interesa por su aplicación al muestreo aleatorio sin reposición, donde no tenemos en cuenta el orden de extracción de los elementos.

Gracias por vuestra atención.

SoDe · Registrado: 08 Feb 2010 Mensajes: 5

Puedes convertir el problema a uno equivalente que puede ser resuelto
por permutaciones con rep. Por ejemplo, si tenemos tres tipos de canicas:
unas rojas, unas verdes y unas azules; y deseamos tomar 5 de éstas.
Esto se puede hacer, con tu notación, de ${\rm CR}_{3,5}$ formas.

Ahora, nota que la disposición xx|x|xx, se puede considerar como que
hemos tomado dos canicas rojas, una verde y una azul (las x's antes
de la primera barra cuentan las canicas rojas, las x's entre la primera
y la segunda barra cuentan las verdes; las x's luego de la segunda barra
ya sabrás: cuentan las azules).

Similarmente la disposición xxx||xx, puede significar que hemos tomado
tres canicas rojas, ninguna verde y dos azules. La disposición |xxxxx|,
hemos tomado las cinco canicas de color verde. La disposición xxxxx||,
hemos tomado las cinco de color rojo, etc, etc....

También puedes ver que cada selección de las cinco canicas se puede
representar fácilmente con barras y x's. Por ejemplo, si tomamos
una canica roja, dos verdes y dos azules; esto se puede representar
por la disposición x|xx|xx.

Entonces, hemos identificado una correspondencia entre el número de
combinaciones con repetición de N=3

objetos de tamaño n=5

,
con el número de permutaciones con repetición de n=5

x's
y

barras, deducimos que

$\displaystyle {\rm CR}_{3,5} = \frac{(5+2)!}{(2!)(5!)} = \frac{(5+(3-1))!}{(2!)(5!)}$

Espero que ya puedas "ver" la prueba general: existe una correspondencia
entre las combinaciones con repetición de

objetos tomados de

a la vez,
y las permutaciones con repetición de

x's y

barras; de donde

$\displaystyle {\rm CR}_{N,n} = \frac{(n+(N-1))!}{(N-1)!\cdot n!} = \frac{(N+n-1)!}{(N-1)!\cdot n!}$

Si te agradó este desarrollo, agradécelo a Ralph Grimaldi, pues, lo aprendí
de su libro Matemáticas Discretas y Combinatorias, 3e.

Saludos!