Foro de Matemáticas

hipatia · Registrado: 29 Sep 2008 Mensajes: 12

Hola a todos.
Tengo este problemita:
Demostrar que si * es una operación binaria en un conjunto S, asociativa y conmutativa, entonces

(a*b)*(c*d)=[(d*c)*a]*b

Para toda $a,b,c,d \in{S}$ . Supóngase que la ley asociativa se cumple, como en la definición, sólo para ternas, esto es, supóngase sólo
(x*y)*z=x*(y*z)

Para toda $x,y,z \in{S}$

Ojala puedan ayudarme. Gracias

C_Lambda · Registrado: 26 Sep 2010 Mensajes: 81

Por la propiedad conmutativa se tiene que:

(a * b) * (c * d) = (b * a) * (d * c)

Por la propiedad asociativa (que suponemos se da) tenemos que:

(b * a) * (d * c)= b * [a * (d * c) ]

Fíjate que en este caso d*c es el z en tu propiedad.

Por la propiedad conmutativa se tiene que:

b * [a * (d * c) ] = [a * (d * c)] * b

Es decir b conmuta con lo que hay dentro del corchete. (un paso previo no necesario podría ser darle un nombre a todo lo que hay dentro del corchete)

Finalmente aplicando nuevamente la propiedad conmutativa se tiene que:

Donde hemos conmutado (d*c) tratándolo como un ente propio, (lo podemos llamar z) con a.

En resumen en una linea sería lo siguiente:

(a * b) * (c * d) = (b * a) * (d * c) = b * [a * (d * c) ] = [a * (d * c)] * b = [(d * c) * a] * b

Saludos.