Foro de Matemáticas

damianiq · Registrado: 26 Jul 2011 Mensajes: 1

Hola soy nuevo en este foro :)
Tengo un problema con este ejercicio me pide dar una base para la imagen de la siguiente transformación lineal:

$F: \mathbb{R}^4\rightarrow{\mathbb{R}^3}$ definida como $F(x,y,z,w)=\left[{\begin{array}{ccc}{4x+y-2z-3w}\\{2x+y+z-4w}\\{6x-9z+9w}\end{array}\right]$

Para encontrar el núcleo o kernel de la transformación debo resolver: $\begin{bmatrix}{4}&{1}&{-2}&{-3}\\{2}&{1}&{1}&{-4}\\{6}&{0}&{-9}&{9}\end{bmatrix}\cdot\left[{\begin{array}{cccc}{x}\\{y}\\{z}\\{w}\end{array}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}{0}\\{0}\\{0}\end{array}\right]$

Pero para encontrar una base para el subespacio imagen, ¿qué debería hacer?

Se me habia ocurrido usar la siguiente matriz pero no supe a qué igualarla, igual no estoy seguro, quizás es una aberración pero bueno, estoy aprendiendo ::) :

$\begin{bmatrix}{4}&{2}&{6}\\{1}&{1}&{0}\\{-2}&{1}&{-9}\end{bmatrix}\cdot\left[{\begin{array}{ccc}{a}\\{b}\\{c}\end{array}\right]=???$

Escucho sugerencias :D.

Gracias por leer :P

C_Lambda · Registrado: 26 Sep 2010 Mensajes: 81

Primero evalua

en una base del espacio vectorial $\mathbb{R}^4$ . Esto dará como resultado un sistema generador del espacio vectorial imagen.

De hecho la demostración es trivial aplicando las propiedades de una aplicación lineal.

Sea

vector de $\mathbb{R}^4$ . en términos de la base canónica, es evidente que:

(x,y,z,w)=x(1,0,0,0)+y(0,1,0,0)+z(0,0,1,0)+w(0,0,0,1)

Por tanto se tiene que:

F(x,y,z,w)=F(x(1,0,0,0)+y(0,1,0,0)+z(0,0,1,0)+w(0,0,0,1))=xF(1,0,0,0)+yF(0,1,0,0)+zF(0,0,1,0)+wF(0,0,0,1)

Es decir cualquier vector

de la imagen será una combinación lineal de los vectores F(1,0,0,0)

,

,

y

En tu caso concreto:

F(1,0,0,0)=(4,2,6)=2(2,1,3)

Estudiemos por tanto el sistema generador $\{(2,1,3),(1,1,0),(-2,1,-9),(-3,-4,9)\}$

Observemos que:

(-2,1,-9) = 4(1,1,0)+-3(2,1,3)

Luego podemos eliminar el vector (-2,1,-9)

del sistema generador sin pérdida de información. Veamos ahora si $\{(2,1,3),(1,1,0),(-3,-4,9)\}$ es linealmente independiente.

$\left|\begin{matrix}{2}&{1}&{3}\\{1}&{1}&{0}\\{-3}&{-4}&{9}\end{matrix}\right|=6\neq{} 0$

Por tanto, y si no me he equivocado en las cuentas, una base del subespacio vectorial imagen viene dada por $\{(2,1,3),(1,1,0),(-3,-4,9)\}$ y es mas, puesto que dicho subespacio es de dimensión 3, y está dentro de $\mathbb{R}^3$ , necesariamente debe ser el propio $\mathbb{R}^3$ , luego la base canónica para $\mathbb{R}^3$ también debe de valer.

¡Un saludo!