Foro de Matemáticas

molko · Registrado: 04 Oct 2008 Mensajes: 2

Agradeceria me ayudaran a resolver una serie de problemas con espacios
vectoriales.

1-Demostrar que el conjunto de numeros complejos, con las operaciones suma y
producto usuales, tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los numeros reales. Los numeros complejos son de la forma X \bar{} =a+bi con i= raiz cuadrada de -1

2- En el conjunto RxR se definen las operaciones:
+:(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')
·:a·(x,y)=(ax,0)

Estudiar si (R ^ 2,+,·) es un espacio vectorial.

3- Comprovar que en R ^2 los vectores {(1,1),(1,0),(2,2)} son linealmente dependientes.
Se puede poner el vector (1,0) como combinacion lineal de los otros 2?

Gracias por la ayuda.

rulo44 · Registrado: 30 Abr 2009 Mensajes: 5

te puedo ayudar con el 3

aunque es muy ovbio que el conjunto de vectores {(1,1),(1,0),(2,2)} son linealmente independientes lo haré de una forma que lo puedas a plicar para cualquier conjunto de vectores.

primero pasas tus vectores a una matriz (cada vector es una fila)

$\left[{\begin{matrix}{1}&{1}\\{1}&{0}\\{2}&{2}\end{matrix}\right]$

ahora haces operaciones que le puedes hacer a una matriz para reducirla lo mas que se pueda

1. multiplicar una columna/fila por un numero.

2.intercambiar columnas/filas

3. multiplicar una columna/fila por un numero y sumarsela a otra columna/fila.

primero: si multiplicamos por -2 la primera fila y se la sumamos a la tercera, obtenemos:

$\left[{\begin{matrix}{1}&{1}\\{1}&{0}\\{0}&{0}\end{matrix}\right]$

segundo: si multiplicamos la segunda fila por -1 y se la sumamos a la primera, obtenemos:

$\left[{\begin{matrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\\{0}&{0}\end{matrix}\right]$

y ya no podemos reducir más la matriz.

Recuerda que si despues de reducir lo mas que se pueda una matriz, te queda al menos una fila o columa de puro cero, entonces el conjunto de vectores es linealmente dependiente.

Si despues de reducirla lo mas que se pueda no te queda ninguna fila de ceros, entonces el conjunto de vectores es linealmente independiente.

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para que el vector (1,0) sea combinacion lineal de otros, debes hallar valores para escalares "a" y "b" tales que:

a(1,1)+b(2,2)=(1,0)

lo que es igual que decir

(a,a)+(2b,2b)=(1,0)

y es un sistema ecuaciones a resolver
$\\a+2b=1\\a+2b=0$

como ves, el sistema no tiene solucion.

entonces el vector (1,0)

no se puede escribir como combinacion lineal de los vectores (1,1) y (2,2)

fin

Epsilón5 · Registrado: 28 Nov 2008 Mensajes: 179 Votos: 6

_Rulo44, te aconsejo que vuelvas a estudiar las definiciones seriamente. En particular, debes recordar el siguiente teorema (que de hecho es bastante popular)::

*Teorema. Todo conjunto de n+1

vectores en un espacio vectorial de dimensión no mayor que

es linealmente dependiente.*

_Por ejemplo,

$- 2 \cdot \left( {1,1} \right) + 0 \cdot \left( {1,0} \right) + 1 \cdot \left( {2,2} \right) = \mathbf{0}$

_Lo que demuestra que estos tres vectores son linealmente dependientes (esta es una combinación lineal no trivial del vector $\mathbf{0}$ ). Así que por favor revisa con mayor cuidado las definiciones, además la prueba por medio de la matriz sólo es válida con una matriz cuadrada (ya que lo que se busca es si dicha matriz es invertible sí o no, o sea, si su determinante es nulo sí o no; cosa que no vale para matrices no cuadradas).

[Saludos]

miRagE · Registrado: 12 Nov 2011 Mensajes: 1

holas]Agradeceria me ayudaran a resolver una serie de problemas con conjuntos lineales dependientes e independientes

determinar si el conjunto S={(4,7,3);(¡1,2,6);(2,¡3,5) es un conjunto linealmente independiente
justifique la respuesta.

determine si el conjunto w=(x,y)2l 2ly=+1,x2la
es un subespacio vectorial de l2

gracias por su colaboración
muchas gracias