Foro de Matemáticas

nekovolta · Registrado: 01 Sep 2011 Mensajes: 1

Hola a todos,
planteo esta nueva duda. Necesito resolver esta integral, pero no doy con la tecla:
$\displaystyle\int_{}^{}\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{u^2-x^2}{u^2-a^2}}\displaystyle\frac{a}{u}du$

El cambio de variable que me indica para resolver esta integral es:

$t^2=\displaystyle\frac{u^2-x^2}{u^2-a^2}$

Por lo que "u" quedaría:

t^2(u^2-a^2)=u^2-x^2

Desarrollando esta expresión,llegamos a que:

u^2(t^2-1)=t^2a^2-x^2

Por lo que $u=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{t^2a^2-x^2}{t^2-1}}$

Por otro lado, la derivada de "u respecto a t" quedaría: $\frac{du}{dt}$

$\displaystyle\frac{du}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{t^2a^2-x^2}{t^2-1}}}\displaystyle\frac{(t^2-1)(2ta^2)-(t^2a^2-x^2)(2t)}{(t^2-1)^2}$

$\displaystyle\frac{du}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{t^2a^2-x^2}{t^2-1}}}\displaystyle\frac{2t(x^2-a^2)}{(t^2-1)^2}$

Por tanto, sustituyendo estos términos en la integral original para ponerla en función de "t" obtenemos:

$\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{\displaystyle\frac{u^2-x^2}{u^2-a^2}}\displaystyle\frac{a}{u}du=\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{t^2}\displaystyle\frac{a}{\sqrt{\displaystyle\frac{t^2a^2-x^2}{t^2-1}}}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\displaystyle\frac{t^2a^2-x^2}{t^2-1}}}\displaystyle\frac{2t(x^2-a^2)}{(t^2-1)^2}dt$

Con lo cual, agrupando la integral queda:
$\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{t^2(x^2-a^2)a}{(\displaystyle\frac{t^2a^2-x^2}{t^2-1})(t^2-1)^2}dt$

Llegado a este punto no sé seguir, pero el resultado de la integral debe ser algo tal que así:

$\displaystyle\int\frac{t^2(x^2-a^2)a}{\left(\dfrac{t^2a^2-x^2}{t^2-1}\right)(t^2-1)^2}dt=\frac{a}{2}\ln\left(\frac{t+1}{t-1}\right)-\frac{x}{2}\ln\left(\frac{t+(x/a)}{t-(x/a)}\right)$

Podríais indicarme como puedo proceder para terminar de solucionar la integral?

Muchas gracias por adelantado.

Se me olvidó poner este segundo intento, planteando los cambios de otra forma, pero tampoco sé como continuar...

$\displaystyle\int_{}^{}\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{u^2-x^2}{u^2-a^2}}\displaystyle\frac{a}{u}du$

Haciendo el cambio de variable $t^2=\displaystyle\frac{u^2-x^2}{u^2-a^2}$ Nos lleva a que:

$2tdt=\displaystyle\frac{2u(u^2-a^2)-2u(u^2-x^2)}{(u^2-a^2)^2}du=u\displaystyle\frac{(x^2-a^2)}{(u^2-a^2)^2}du$

$\displaystyle\frac{u}{(u^2-a^2)^2}du=\displaystyle\frac{t}{(x^2-a^2)}dt$

Pero no veo como continuar... ¿Alguna idea?

Dogod11 · Registrado: 09 Dic 2008 Mensajes: 331 Votos: 4

Hola,

has intentado el método por partes,

saludos.

ESTUDIANTE INGENIERIA · Registrado: 15 Oct 2011 Mensajes: 33

hola.

x^2 y a^2 son constantes?