Foro de Matemáticas

aldaris565 · Registrado: 21 Feb 2009 Mensajes: 1

bue es asi:
(cos(x))^4) entre (senx+cosx)((sen(x))^3+(cos(x))^3) dx ojala puedan ayudarme!!! gracias de antemano!!

Epsilón5 · Registrado: 28 Nov 2008 Mensajes: 179 Votos: 6

_Luego de hacer el cambio de variables adecuado lo que haces es descomponer en fracciones simples, como te muestro a continuación:

$\displaystyle\int {\displaystyle\frac{{\cos ^4 x}}{{\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\sin ^3 x + \cos ^3 x} \right)}}dx} =$ $\displaystyle\int {\displaystyle\frac{{\cos ^4 x}}{{\sin ^4 x + \sin ^3 x\cos x + \sin x\cos ^3 x + \cos ^4 x}}dx}$ $= \displaystyle\int {\displaystyle\frac{{dx}}{{\tan ^4 x + \tan ^3 x + \tan x + 1}}}$

$\left[ {\tau = \tan x\quad \Rightarrow \quad \displaystyle\frac{{d\tau }}{{\tau ^2 + 1}} = dx} \right]$

$\Rightarrow \quad \displaystyle\int {\displaystyle\frac{{d\tau }}{{\left( {\tau ^2 + 1} \right)\left( {\tau ^4 + \tau ^3 + \tau + 1} \right)}}} = \displaystyle\int {\displaystyle\frac{{d\tau }}{{\left( {\tau + 1} \right)^2 \left( {\tau ^2 + 1} \right)\left( {\tau ^2 - \tau + 1} \right)}}}$

_En este punto del desarrollo desearíamos poder descomponer el integrando en suma de "fracciones más simples", las cuales podamos integrar por separado, así que suponemos lo siguiente:

$\displaystyle\frac{1}{{\left( {\tau + 1} \right)^2 \left( {\tau ^2 + 1} \right)\left( {\tau ^2 - \tau + 1} \right)}} = \displaystyle\frac{{\alpha _1 }}{{\tau + 1}} +$ $\displaystyle\frac{{\alpha _2 }}{{\left( {\tau + 1} \right)^2 }} + \displaystyle\frac{{\alpha _3 \tau + \alpha _4 }}{{\tau ^2 + 1}} + \displaystyle\frac{{\alpha _5 \tau + \alpha _6 }}{{\tau ^2 - \tau + 1}}$

_Donde los $\alpha _i$ para i = 1,2,...,6

son constantes (reales) que habremos de determinar (si deseas saber más sobre fracciones simples, para que esto no te parezca una "adivinanza", puedes postear tus preguntas. Aunque de seguro tu libro de Cálculo debe contener este tema así que podrías hojearlo si no te han dado el tema en clases). Multiplicando por el denominador de la fracción del miembro izquierdo nos deshacemos de los denominadores con $\tau$ ; y obtenemos la siguiente igualdad entre polinomios luego de realizar las operaciones y de juntar términos semejantes:

(Antes de desarrollar las operaciones)

$1 = \alpha _1 \left( {\tau + 1} \right)\left( {\tau ^2 + 1} \right)\left( {\tau ^2 - \tau + 1} \right) +$ $\alpha _2 \left( {\tau ^2 + 1} \right)\left( {\tau ^2 - \tau + 1} \right) +$ $\left( {\alpha _3 \tau + \alpha _4 } \right)\left( {\tau + 1} \right)^2 \left( {\tau ^2 - \tau + 1} \right) +$ $\left( {\alpha _5 \tau + \alpha _6 } \right)\left( {\tau + 1} \right)^2 \left( {\tau ^2 + 1} \right)$

(Depués de desarrollar las operaciones)

$1 = \left( {\alpha _1 + \alpha _3 + \alpha _5 } \right)\tau ^5 + \left( {\alpha _2 + \alpha _3 + \alpha _4 + 2\alpha _5 + \alpha _6 } \right)\tau ^4$ $+ \left( {\alpha _1 - \alpha _2 + \alpha _4 + 2\alpha _5 + 2\alpha _6 } \right)\tau ^3+ \cdots$

$\cdots + \left( {\alpha _1 + 2\alpha _2 + \alpha _3 + 2\alpha _5 + 2\alpha _6 } \right)\tau ^2 +$ $\left( { - \alpha _2 + \alpha _3 + \alpha _4 + \alpha _5 + 2\alpha _6 } \right)\tau$ $+ \left( {\alpha _1 + \alpha _2 + \alpha _4 + \alpha _6 } \right)$

_(Lo que digo ahora es respecto a "Antes de...") Como ya sabrás dos funciones son iguales (¡en el sentido analista de la palabra!) si y sólo si toman los mismos valores en cada punto de su dominio, o sea, que si los dos miembros de la ecuación ("Antes de...") son iguales entonces esto se cumple para todo valor de $\tau$ .

-Si $\tau = -1$ , tenemos:

$1 = 6\alpha _2 \quad \Rightarrow \quad \alpha _2 = \frac{1}{6}$

-Si $\tau = i$ , tenemos:

$1 = \left( {\alpha _3 i + \alpha _4 } \right)\left( {1 + i} \right)^2 \left( { - i} \right)\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} + 0i =$ $\alpha _4 + \alpha _3 i\quad \Rightarrow \quad \left( {\alpha _3 = 0\quad \wedge \quad \alpha _4 = \frac{1}{2}} \right)$

-Si $\tau= \frac{1+i\sqrt[ ]{3} }{2}$ (raíz de $\tau ^2 - \tau +1 = 0$ ), tenemos (aquí he usado la identidad $\tau ^2 + 1 = \tau$ varias veces):

$1 = \left( {\frac{{1 + i\sqrt 3 }}{2}\alpha _5 + \alpha _6 } \right)\left( {\frac{{1 + i\sqrt 3 }}{2} + 1} \right)^2$ $\left[ {\left( {\frac{{1 + i\sqrt 3 }}{2}} \right)^2 + 1} \right]\quad \Rightarrow \quad 1 =$ $3\left( {\frac{{1 + i\sqrt 3 }}{2}\alpha _5 + \alpha _6 } \right)\left( {\frac{{1 + i\sqrt 3 }}{2}} \right)^2$

$\Rightarrow \quad 1 = 3\left( { - \alpha _5 - \frac{1}{2}\alpha _6 + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\alpha _6 } \right)\quad \Rightarrow \quad \left( {\alpha _5 = - \frac{1}{3}\quad \wedge \quad \alpha _6 = 0} \right)$

_Gracias a "Después de..." tenemos la igualdad $\alpha _1 + \alpha _3 + \alpha _5 = 0$ (puesto que dos polinomios son iguales si y sólo si poseen los mismos coeficientes para cada parte literal respectiva). Luego como $\alpha _3 = 0$ y $\alpha_ 5 = - \frac{1}{3}$ , despejando tenemos $\alpha_1 = \frac{1}{3}$ .

$\alpha _1 = \frac{1}{3}\quad \wedge \quad \alpha _2 = \frac{1}{6}\quad \wedge \quad \alpha _3 =$ $0\quad \wedge \quad \alpha _4 = \frac{1}{2}\quad \wedge \quad \alpha _5 = - \frac{1}{3}\quad \wedge \quad \alpha _6 = 0$

_Ahora (¡Por fin!) que tenemos todos los coeficientes $\alpha _i$ podemos seguir con nuestro problema de integración (¿Casi se nos olvida?...):

$\displaystyle\int {\displaystyle\frac{{d\tau }}{{\left( {\tau + 1} \right)^2 \left( {\tau ^2 + 1} \right)\left( {\tau ^2 - \tau + 1} \right)}}} =$ $\displaystyle\int {\left[ {\displaystyle\frac{{{\textstyle{1 \over 3}}}}{{\tau + 1}} + \displaystyle\frac{{{\textstyle{1 \over 6}}}}{{\left( {\tau + 1} \right)^2 }} +\displaystyle\frac{{{\textstyle{1 \over 2}}}}{{\tau ^2 + 1}} - \displaystyle\frac{{{\textstyle{1 \over 3}}\tau }}{{\tau ^2 - \tau + 1}}} \right]d\tau } = \cdots$

$\cdots = \frac{1}{3}\displaystyle\int {\displaystyle\frac{{d\tau }}{{\tau + 1}}} + \tfrac{1}{6}\displaystyle\int {\displaystyle\frac{{d\tau }}{{\left( {\tau + 1} \right)^2 }}} + \tfrac{1}{2}\displaystyle\int {\displaystyle\frac{{d\tau }}{{\tau ^2 + 1}}} - \tfrac{1}{3}\displaystyle\int {\displaystyle\frac{\tau }{{\tau ^2 - \tau + 1}}d\tau }$

$\Rightarrow \quad \displaystyle\int {\displaystyle\frac{{d\tau }}{{\left( {\tau ^2 + 1} \right)\left( {\tau ^4 + \tau ^3 + \tau + 1} \right)}}} =$ $\frac{1}{3}\ln \left( {\tau + 1} \right) - \displaystyle\frac{1}{{6\left( {\tau + 1} \right)}} + \tfrac{1}{2}\tan ^{ - 1} \tau -$ $\frac{1}{6}\displaystyle\int {\frac{{2\tau - 1}}{{\tau ^2 - \tau + 1}}d\tau } - \tfrac{1}{6}\displaystyle\int {\frac{1}{{\tau ^2 - \tau + 1}}d\tau }$

$\Rightarrow \quad \displaystyle\int {\displaystyle\frac{{d\tau }}{{\left( {\tau ^2 + 1} \right)\left( {\tau ^4 + \tau ^3 + \tau + 1} \right)}}} =$ $\frac{1}{3}\ln \left( {\tau + 1} \right) - \displaystyle\frac{1}{{6\left( {\tau + 1} \right)}} + \tfrac{1}{2}\tan ^{ - 1} \tau -$ $\frac{1}{6}\ln \left( {\tau ^2 - \tau + 1} \right) - \frac{1}{6}\displaystyle\int {\displaystyle\frac{1}{{\left( {\tau - \frac{1}{2}} \right)^2 + \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2 }}d\tau }$

$\Rightarrow \quad \displaystyle\int {\displaystyle\frac{{d\tau }}{{\left( {\tau ^2 + 1} \right)\left( {\tau ^4 + \tau ^3 + \tau + 1} \right)}}} =$ $\frac{1}{3}\ln \left( {\tau + 1} \right) - \displaystyle\frac{1}{{6\left( {\tau + 1} \right)}} + \tfrac{1}{2}\tan ^{ - 1} \tau -$ $\frac{1}{6}\ln \left( {\tau ^2 - \tau + 1} \right) - \frac{1}{6}\frac{2}{{\sqrt 3 }}\tan ^{ - 1} \left( {\displaystyle\frac{{\tau - \frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}} \right) + C$

$\therefore \quad \displaystyle\int {\displaystyle\frac{{d\tau }} {{\left( {\tau ^2 + 1} \right)\left( {\tau ^4 + \tau ^3 + \tau + 1} \right)}}} =$ $- \displaystyle\frac{1} {{6\left( {\tau + 1} \right)}} + \tfrac{1} {3}\ln \left( {\tau + 1} \right) -$ $\frac{1} {6}\ln \left( {\tau ^2 - \tau + 1} \right) + \frac{1} {2}\tan ^{ - 1} \tau -$ $\frac{{\sqrt 3 }} {9}\tan ^{ - 1} \left[ {\frac{{\sqrt 3 }} {3}\left( {2\tau - 1} \right)} \right] + C$

_Ahora sólo nos quedan dos cosas: deshacer la sustitución y verificar el resultado por derivación;

$\displaystyle\int {\displaystyle\frac{{dx}} {{\tan ^4 x + \tan ^3 x + \tan x + 1}}} = \tfrac{1} {2}x$ $- \displaystyle\frac{1} {{6\left( {\tan x + 1} \right)}} + \tfrac{1} {3}\ln \left( {\tan x + 1} \right) -$ $\tfrac{1} {6}\ln \left( {\tan ^2 x - \tan x + 1} \right) - \tfrac{{\sqrt 3 }} {9}\tan ^{ - 1} \left[ {\tfrac{{\sqrt 3 }} {3}\left( {2\tan x - 1} \right)} \right] + C$

_O lo que es lo mismo:

$\displaystyle\int {\displaystyle\frac{{\cos ^4 x}} {{\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\sin ^3 x + \cos ^3 x} \right)}}dx}= \tfrac{1} {2}x$ $- \displaystyle\frac{1} {{6\left( {\tan x + 1} \right)}} + \tfrac{1} {3}\ln \left( {\tan x + 1} \right) -$ $\tfrac{1} {6}\ln \left( {\tan ^2 x - \tan x + 1} \right) - \tfrac{{\sqrt 3 }} {9}\tan ^{ - 1} \left[ {\tfrac{{\sqrt 3 }} {3}\left( {2\tan x - 1} \right)} \right] + C$

_Te dejo a ti la verificación por medio de derivación...

[Una integral un tanto enrevesada en el comienzo, pero que si se llega a conocer mejor se nota su belleza natural, tengo que decir.]

[Saludos]

André · Registrado: 30 Jun 2008 Mensajes: 135

Muy bueno, Epsilón5.
Salu2.

Tesserack · Registrado: 04 Mar 2009 Mensajes: 57

$\displaystyle\int {\displaystyle\frac{{\cos ^4 x}} {{\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\sin ^3 x + \cos ^3 x} \right)}}dx}=$ $\displaystyle\int {\displaystyle\frac{{dx}} {{\tan ^4 x + \tan ^3 x + \tan x + 1}}} = \tfrac{1} {2}x$ $- \displaystyle\frac{1} {{6\left( {\tan x + 1} \right)}} + \tfrac{1} {3}\ln \left( {\tan x + 1} \right) -$ $\tfrac{1} {6}\ln \left( {\tan ^2 x - \tan x + 1} \right) - \tfrac{{\sqrt 3 }} {9}\tan ^{ - 1} \left[ {\tfrac{{\sqrt 3 }} {3}\left( {2\tan x - 1} \right)} \right] + C$

[Una integral un tanto enrevesada en el comienzo, pero que si se llega a conocer mejor se nota su belleza natural, tengo que decir.]

[Saludos][/quote]

En verdad, eres un artista!
Convertiste todo este aparataje en una belleza.
Felicidades.
Te saludo.