Foro de Matemáticas

dirac · Registrado: 31 May 2009 Mensajes: 8

Primeramente saludos a todos:
La integral que no sé resolver es la siguiente entre 0 e infinito... a ver si alguien sabe... creo que el resultado sale en función de wn únicamente. Os lo envío como adjunto de word ya que no me queda muy claro con el editor de akí...

Muchas gracias a todos y un saludo

MagnaGenta · Registrado: 30 Dic 2007 Mensajes: 203 Votos: 2

_Cambiaré tu notación un poco:

$\left[ \begin{gathered} w_n = \alpha \hfill \\ f = \xi \hfill \\ \end{gathered} \right]$

_Así la integral será:

$\displaystyle\int\limits_0^\infty {\displaystyle\frac{{\alpha ^4 }} {{\alpha ^4 + \left( {4\pi ^2 \alpha ^2 } \right)\xi ^2 }}d\xi } = \beta ^2 \displaystyle\int\limits_0^\infty {\frac{{d\xi }} {{\beta ^2 + \xi ^2 }}}$

_Donde,

$\beta = \displaystyle\frac{\alpha } {{2\pi }}$

_Haciendo la bien conocida sustitución trigonométrica $\xi = \beta \tan x$ , obtenemos:

$\left[ \begin{gathered} \xi = \beta \tan x\quad \Rightarrow \quad d\xi = \beta \sec ^2 xdx \hfill \\ 0 \leq \xi < \infty \quad \Rightarrow \quad 0 \leq x < \tfrac{1} {2}\pi \hfill \\ \end{gathered} \right]$

_En la determinación de los nuevos límites he supuesto $\beta > 0$ (o sea, $\alpha > 0$ ). Sustituyendo en la integral:

$\beta ^2 \displaystyle\int\limits_0^\infty {\displaystyle\frac{{d\xi }} {{\beta ^2 + \xi ^2 }}} = \beta ^2 \displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi } {2}} {\displaystyle\frac{{\beta \sec ^2 x}} {{\beta ^2 + \beta ^2 \tan ^2 x}}dx}$

_Operando y recordando que $1 + \tan ^2 x = \sec ^2 x$ , obtenemos:

$\beta ^2 \displaystyle\int\limits_0^\infty {\displaystyle\frac{{d\xi }} {{\beta ^2 + \xi ^2 }}} = \beta \displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi} {2} } {dx} = \tfrac{1} {2}\beta \pi$

_Por último, sustituimos $\beta = \tfrac{1 }{{2\pi }}\alpha$ y volvemos a la integral inicial, así:

$\displaystyle\int\limits_0^\infty {\displaystyle\frac{{\alpha ^4 }} {{\alpha ^4 + \left( {4\pi ^2 \alpha ^2 } \right)\xi ^2 }}d\xi } = \tfrac{1} {4}\alpha$

[[Si $\alpha < 0$ la integral original es la misma que cuando $\alpha > 0$ (pues no hay cambio alguno en la misma si ponemos $- \alpha$ en lugar de $\alpha$ ); evidentemente si $\alpha = 0$ la integral es nula. Podemos concluir con lo siguiente:

$\displaystyle\int\limits_0^\infty {\displaystyle\frac{{\alpha ^4 }} {{\alpha ^4 + \left( {4\pi ^2 \alpha ^2 } \right)\xi ^2 }}d\xi } = \tfrac{1} {4}\left |{\alpha}\right |$

Que vale para todo $\alpha \in \mathbb{R}$ .]]

[Saludos!!]

[E-5]

dirac · Registrado: 31 May 2009 Mensajes: 8

MagnaGenta muchas gracias!! la verdad que ya me había costado llegar a esta integral y veía que de ahí no salía... pero gracias a tu respuesta he podido acabarlo ya que era justo el final... a ver si voy cogiendo un poco más de soltura con estas cosas que no puede ser!... bueno y una cosilla, la sustitución trigonométrica que haces... cómo sabes que tienes que hacer justo esa sustitución ( $\xi = \beta \tan x$ )?? tiene algo que ver con que la integral justo antes de hacer ese cambio da la arctg?

Y otra cosilla más si no es mucho abusar, he echado un vistazo al vídeo de insertar fórmulas matemáticas y dice algo de abrir un texaide, de dónde se saca ese programa?? yo lo he escrito a mano bien lo que había puesto en tu mensaje..

Lo dicho, muchas gracias por tu respuesta!!

MagnaGenta · Registrado: 30 Dic 2007 Mensajes: 203 Votos: 2

dirac · Registrado: 31 May 2009 Mensajes: 8

Muchas gracias de nuevo, así da gusto!

Tesserack · Registrado: 04 Mar 2009 Mensajes: 57

MagnaGenta

Sois sorprendente Magnagenta...
Te confirmo mi admiracion y respeto.
Te saludo.