Foro de Matemáticas

Lucho_Morrison · Registrado: 03 Feb 2011 Mensajes: 1

Por favor necesitaria de su ayuda,no comprendo muy bien este tema,me dieron estos ejercicios en clase y no los pude resolver

1) Calcula el Area Total y el Volumen de los cuerpos generados por una rotacion de las superficies sombreada alrededor del eje E.

A)

B)

C)

PD: desde ya muchas gracias por su tiempo

C_Lambda · Registrado: 26 Sep 2010 Mensajes: 81

Para el primero vamos a hallar el radio de las circunferencias que forman la figura, (una vez realizada la rotación sobre el eje E) a las distintas alturas. (Altura que irá desde 0 hasta 5). Para ello vamos hacer uso del triángulo rectángulo de catetos r (radio buscado) 5+h, donde h es la altura para cada circunferencia y de hipotenusa 10, el radio de la media circunferencia original.

Con estos datos y aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos lo siguiente:

(5+h)^2+r^2=100

De donde

$r=\sqrt{100-(5+h)^2}$

Ya tenemos el radio en función de la altura. Ahora cada circunferencia, para una altura h concreta tendrá como área la siguiente:

$\pi r^2 = \pi [100-(5+h)^2]$

Ahora solo basta integrar a lo largo de la altura, es decir, en [0,5]. Resultando el volumen de la figura el siguiente:

$V=\int_{0}^{5} 100 \pi -25 \pi -h^2 \pi -10h \pi = \frac{625}{3}\pi$

El segundo si no me equivoco es un cilindro con un boquete en el centro. Con lo cual, el volumen ocupado sin contar el boquete es lo mismo que el de un cilindro cuyo radio de la base es 20 y altura 30. Área de la base por la altura. Si se quiere tener en cuenta el boquete, pues el radio será 30.

El último es un toro. Se puede calcular por ejemplo tomando el área de las secciones horizontales. Esta es el área limita por la circunferencia exterior menos el área limitada por la circunferencia interior. Este área vendrá dado en función de la altura y nuevamente volvemos a integrar como en el primer caso, a lo largo de la altura. Sino, de todos modos, hay muchas fórmulas por la red, ya resueltas, para el cálculo del volumen de un toro.

Saludos.