Polinomio de Taylor

El Teorema de Taylor fue enunciado por Brook Taylor en 1712, y permite aproximar una función en un entorno de un punto donde la función sea diferenciable por aproximaciones polinómicas.

Si n ≥ 0 es un entero y f una función que es derivable n veces en el intervalo cerrado [a,x] y n+1 veces en el intervalo abierto (a,x), entonces se cumple que:

$f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{f^{\left( k \right)} (a)}}{{k!}}} (x - a)^k + R_n (f)$

Donde $R_n (f)$ denota el resto de de aproximar f por el polinomio depende de x y es pequeño si x está próximo al punto a.

$R_n (f) = \frac{{f^{\left( {n + 1} \right)} \left( \xi \right)}}{{\left( {n + 1} \right)!}}\left( {x - a}\right)^{n + 1}$ y $\xi$ es un número entre a y x.

En general si la (n+1) derivada de f está acotada por una constante M en el intervalo (a,b) que se menciona en el teorema de Taylor, es decir, si

$\left| {f^{\left( {n + 1} \right)} \left( x \right)} \right| \leqslant M$ para todo x en (a,b)

entonces $\left| {R_n (f)} \right| = \left| {\frac{{f^{\left( {n + 1} \right)}\left( \xi \right)}}{{\left( {n + 1} \right)!}}\left( {x - a} \right)^{n + 1} } \right| \leqslant M \cdot \left|{\frac{{\left( {x - a} \right)^{n + 1} }}{{\left( {n + 1} \right)!}}} \right|$

Cuando n crece indefinidamente entonces $\left| {\frac{{\left( {x - a} \right)^{n + 1} }}{{(n + 1)!}}} \right| \to 0$

Para algunas funciones se puede probar que el resto se aproxima a cero cuando n tiende a infinito. Dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor del punto a y se llaman funciones analíticas.

En el caso a=0 tenemos $f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{f^{\left( k \right)} (0)}}{{k!}}} x ^k + R_n (f)$ y a esta expresión la llamamos fórmula de Mac Laurin.

Veamos dos ejercicios:

Encontrar la fórmula de Mac Laurin para la función $f(x) = senx$

$f(x) = Senx \Rightarrow f(0) = Sen0 = 0$
$f'(x) = Cosx \Rightarrow f'(0) = Cos0 = 1$
$f''(x) = -Senx \Rightarrow f''(0) = -Sen0 = 0$
…

En general observamos que las derivadas de orden par, evaluados en cero se anulan y las impares valen alternadamente 1 y -1.

$Senx = \sum\limits_{k = 1}^n {\left( { - 1} \right)^{k + 1} \frac{{x^{2k - 1} }}{{\left( {2k - 1} \right)!}}}+ R_{2n - 1} (f)$

Encuentre un valor aproximado para $\sqrt e$ utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y estime el error.

Observamos que $\sqrt e = e^{0,5}$ , es decir se nos pide evaluar a la función exponencial en 0.5, el cual es un valor cercano a a = 0, punto en que conocemos a la función exponencial y a sus derivadas.

Así pues encontremos la fórmula de Taylor para f(x) = $e^x$ en a = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 0,5

Como la función exponencial y todas sus derivadas son iguales a 1 evaluadas en 0 tenemos $e^x = 1 +x + \frac{{x^2 }}{{2!}} + \frac{{x^3 }}{{3!}} + R_3 (f)$

Evaluada la función en 0,5 tenemos $e^{0,5} = 1,64583333 + R_3 (f)$

$R_3 (f) = \frac{{f^4 \left( \xi \right)}}{{4!}}\left( {0,5} \right)^4$

Como $f^4 (x) = e^x \,\,\left| {e^x } \right| < 3\,\,\forall x \in \left[ {0,1} \right]$ entonces $\left| {R_3 (f)} \right| \leqslant 3 \cdot \left| {\frac{{0,5^4 }}{{4!}}} \right| = 0,0078125$