Vamos a hacer un ejercicio de números complejos muy completo para alumnos de Bachillerato y también para que alumnos de otros niveles más avanzados recuerden algunos procesos.
Calcular:
![\sqrt[3]{{\left( {\frac{{1 + \sqrt 3 i}}{{1 - i}}} \right)^2 }}](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%5Cleft%28%20%7B%5Cfrac%7B%7B1%20%2B%20%5Csqrt%203%20i%7D%7D%7B%7B1%20-%20i%7D%7D%7D%20%5Cright%29%5E2%20%7D%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\sqrt[3]{{\left( {\frac{{1 + \sqrt 3 i}}{{1 - i}}} \right)^2 }}")
Si 
Pasamos a forma polar:
Módulo:
Argumento:
De forma que tenemos
![\sqrt[3]{{\left( {1_{75} } \right)^2 }} = \sqrt[3]{{1^2 _{75 \cdot 2} }} = \sqrt[3]{{1_{150} }} = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt[3]{1}_{\frac{{150 + 0 \cdot 360}}{3}} = 1_{50} \\ \sqrt[3]{1}_{\frac{{150 + 1 \cdot 360}}{3}} = 1_{170} \\ \sqrt[3]{1}_{\frac{{150 + 2 \cdot 360}}{3}} = 1_{290} \\ \end{array} \right.](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B%5Cleft%28%20%7B1_%7B75%7D%20%7D%20%5Cright%29%5E2%20%7D%7D%20%3D%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B1%5E2%20_%7B75%20%5Ccdot%202%7D%20%7D%7D%20%3D%20%5Csqrt%5B3%5D%7B%7B1_%7B150%7D%20%7D%7D%20%3D%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%5Csqrt%5B3%5D%7B1%7D_%7B%5Cfrac%7B%7B150%20%2B%200%20%5Ccdot%20360%7D%7D%7B3%7D%7D%20%20%3D%201_%7B50%7D%20%20%5C%5C%20%5Csqrt%5B3%5D%7B1%7D_%7B%5Cfrac%7B%7B150%20%2B%201%20%5Ccdot%20360%7D%7D%7B3%7D%7D%20%20%3D%201_%7B170%7D%20%20%5C%5C%20%5Csqrt%5B3%5D%7B1%7D_%7B%5Cfrac%7B%7B150%20%2B%202%20%5Ccdot%20360%7D%7D%7B3%7D%7D%20%3D%201_%7B290%7D%20%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\sqrt[3]{{\left( {1_{75} } \right)^2 }} = \sqrt[3]{{1^2 _{75 \cdot 2} }} = \sqrt[3]{{1_{150} }} = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt[3]{1}_{\frac{{150 + 0 \cdot 360}}{3}} = 1_{50} \\ \sqrt[3]{1}_{\frac{{150 + 1 \cdot 360}}{3}} = 1_{170} \\ \sqrt[3]{1}_{\frac{{150 + 2 \cdot 360}}{3}} = 1_{290} \\ \end{array} \right.")
Si queremos podemos volver a pasar las soluciones a forma binómica mediante la fórmula
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