Ecuaciones diofánticas

Una ecuación diofántica es una ecuación algebraica con soluciones en los números enteros. Su nombre lo deben al matemático Diofanto de Alejandría.

Comenzamos estudiando la ecuación diofántica lineal de dos incógnitas:

$Ax + By = C\,\,con\,\,A,\,\,B\,\,y\,\,C \in {\rm Z}$

Esta ecuación tiene solución si y solo si mcd(A,B) divide a C. En este caso la ecuación tiene infinitas soluciones:

$\left\{ \begin{gathered}x = x_0 + \lambda \frac{B}{d} \hfill \\y = y_0 - \lambda \frac{A}{d} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ donde $\left( {x_0 ,y_0 } \right)$ es una solución particular de la ecuación, d=mcd(A,B) y $\lambda$ un parámetro entero.

Para hallar la solción particular usaremos la Identidad de Bezout junto con el Algortimo de Euclides.

Veamos un ejemplo:

$30x + 12y = 1200$

mcd(30,12)=6/1200 luego la ecuación diofántica tiene solución $6 = 30 - 12 \cdot 2 \Rightarrow 200 \cdot 6 = 200 \cdot 30 - 400 \cdot 12$

Por tanto la solución particular es (200,-400) y la solución general será: $\left( {200 + 2t, - 400 - 5t} \right)$

Problema clásico del mono y los cocos:

Cinco hombres y un mono naufragan en una isla desierta. Los hombres pasan todo el primer día recogiendo cocos. Por la noche, uno de ellos despierta y, desconfiado, decide separar su parte. Dividió los cocos en cinco montones, y como sobraba un coco, se lo dio al mono. Poco después un segundo náufrago se despierta y hace lo mismo. Al dividir los cocos en cinco montones volvió a sobrar un coco y también se lo dio al mono. Uno tras otro, el tercero, cuarto y quinto náufragos hacen lo mismo. Por la mañana, al día siguiente, dividieron los cocos en cinco montones sin que sobrara ninguno. ¿Cuántos se habían recolectado inicialmente?

$\begin{gathered}x=5x_1 +1\hfill\\x-x_1-1=4x_1=5x_2+1\hfill\\x-x_1 - x_2 - 2 = 4x_2 = 5x_3 + 1 \hfill \\x - x_1 - x_2 - x_3 - 3 = 4x_3 = 5x_4 + 1 \hfill \\x - x_1 - x_2 - x_3 - x_4 - 4 = 4x_4 = 5x_5 + 1 \hfill \\x - x_1 - x_2 - x_3 - x_4 - x_5 - 5 = 4x_5 = 5y \hfill \\\end{gathered}$

Sustituyendo empezando por la última y hacia la primera:

$4 \cdot 4x_4 = 4 \cdot 5x_5 + 4 \cdot 1 \Rightarrow 16x_4 = 5 \cdot 4x_5 + 4 = 5 \cdot 5y + 4$ $64x_3 = 5\left( {25y + 4} \right) + 16 = 125y + 36$ $256x_2 = 5\left( {125y + 36} \right) + 64 = 625y + 244$
$1024x_1 = 5\left( {625y + 244} \right) + 256 = 3125y + 1476$
$1024x = 5\left( {3125y + 1476} \right) + 1024 = 15625y + 8404$

Obtenemos finalmente la ecuación:

$1024x - 15625y = 8404$

Nota: continuaremos el post resolviendo esta última ecuación diofántica, haciendo algunas demostraciones de lo visto hasta ahora, y por último nos enfrentaremos a la famosa ecuación pitagórica.

Enviado por Rubén Categoría Álgebra

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