Cálculo de resíduos (difíciles)

Hola.  Recuerdo que, cuando estudié análisis de la variable compleja, enunciamos un teorema fantástico y poderoso: El teorema de los resíduos.  Me parecía increible que el valor de una integral, a lo largo de un camino cerrado homotópico a un punto, sólo dependiera de las contribuciones de las singularidades del integrando (los resíduos) abarcadas por el camino. No obstante, así es y así se demuestra. No entraré en el detalle de la demostración de este teorema (hay mucha información en la web) ni en sus diversas aplicaciones. Lo que me interesa desarrollar a continuación es un método de cálculo de los resíduos de una función en un caso concreto de singularidades. En efecto,  dichas singularidades pueden ser aísladas o no (la singularidad de una función no es necesariamente un punto pero puede ser un segmento lo que no impide tener un resíduo), y en el caso de que sean aisladas pueden ser evitables, esenciales o ser polos. Nos centraremos, en todo lo que sigue, en las singularidades aisladas. Además, descartaremos las singularidades evitables ya que tienen resíduo nulo (el desarrollo en serie da Laurent no tiene potencias negativas). También, dejaremos de lado a las singularidades esenciales que precisan hallar explícitamente el desarrollo de Laurent para obtener el resíduo. Así pues, nos ceñiremos al estudio de los resíduos de funciones que presentan polos. Para ello, recordemos rigurosamente lo que es un polo y un resíduo:

  • Polo de orden n: Consideremos el desarrollo de Laurent de una función f en z_0:

 f(z)=\displaystyle\sum_{-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n

z_0 es un polo de orden n \in\mathbb{N} de f si los coeficientes del desarrollo de Laurent cumplen que:

a_{-n}\neq 0   y   a_k=0   si   k<-n

Es decir que el desarrollo de Laurent tiene potencias negativas en un número finito (sino la singularidad sería esencial) y el orden del polo viene dado por el mínimo entero n tal que a_{-n}\neq 0.

  • Resíduo de f en una singularidad aislada: En el desarrollo de Laurent que hemos considerado, llamamos al coeficiente a_{-1} el resíduo de f en z_0

Ahora bien, consideremos una función compleja de la forma:

h(z)=\displaystyle\frac{f(z)}{g(z)}

con f y g analíticas. El conjunto de singularidades S de h es, por lo tanto, el conjunto de los ceros de g. Esto es:

S=\{z\in\mathbb{C}|g(z)=0\}

S es por lo tanto un conjunto de puntos aislados y son los polos de la función h. Para este tipo de singularidades, existe una fórmula con la cual podemos siempre calcular los resíduos:

\boxed{Res(h,z_0)=\displaystyle\lim_{z\to z_0}\displaystyle\frac{1}{(n-1)!}\displaystyle\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \{(z-z_0)^nh(z)\}}          (1)

donde n es el orden del polo. Veamos, pues, cual es la mejor opción para calcular resíduos según el orden del polo considerado

  • Polo simple (n=1) Cuando n=1 (polo simple), esta fórmula suele ser útil porqué es simple. En efecto, se tiene que:

Res(f,z_o)=\displaystyle\lim_{z\to z_0}(z-z_0)h(z)

Además, en nuestro caso particular  h(z)=\displaystyle\frac{f(z)}{g(z)} tenemos que:

Res(f,z_o)=\displaystyle\lim_{z\to z_0}(z-z_0)h(z)=\displaystyle\lim_{z\to z_0}\displaystyle\frac{f(z)}{\frac{g(z)}{z-z_0}}

Pero, nos fijamos en que g(z_0)=0 y \displaystyle\lim_{z\to z_0}\displaystyle\frac{g(z)-g(z_0)}{z-z_0}=g'(z_0) para obtener que:

\boxed{Res(f,z_o)=\displaystyle\frac{f(z_0)}{g'(z_0)}}

  • Polos de orden superior a uno: En este caso, la fórmula (1) no es, en general, muy útil. En efecto, en primer lugar se tendría que encontrar la derivada (no trivial en general)

\displaystyle\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \{(z-z_0)^nh(z)\}

que da una indeterminación, y luego calcular el límite (Hôpital, desarrollos limitados…). Parece pues que ésta no es la manera más inteligente de calcular el resíduo. Creo, en mi opinión, que, en la mayoría de los textos, es un error pedagógico colocar esta fórmula como “remedio milagro” para la búsqueda de resíduos correspondientes a polos. En efecto, el estudiante la memoriza (o la anota en su formulario) pensando que le servirá siempre (por ser completamente general) y se olvida entender realmente  la esencia de lo que esta haciendo. Luego, si en el exámen le sale un polo de orden 4, por ejemplo, se encuentra con unos cálculos tediosos para los cuales no está preparado y, por ende, pierde un tiempo valioso con muchas probabilidades de equivocarse o rendirse delante la complejidad. Por ello, la esencia de mi artículo toma todo su sentido en este preciso instante. Intentaré proporcionaros un método fiable, rápido e intutivo de como encontrar los resíduos de una función en polos de orden mayores a la unidad.

La verdad es que, a los que teneis que usar el teorema de los resíduos, os recomiendo encarecidamente que cojais lapiz y papel y os apuntéis lo que sigue (no es complicado pero no basta con leerlo). No os preocupéis si, al principio, os cuesta un poco entenderlo. No deja de ser un método así que requiere un poco de práctica. Además, el tiempo que invertáis  en practicar estará, de sobra, compensado por la rápidez con la cual seréis capaces de hallar los resíduos de un función que presenta polos (que, en general, son la mayoría en las clases de variable compleja). Ánimo y a estudiar jejeje.

Nuestro propósito es el de calcular Res(h,z_0) siendo z_0 un polo de orden n de h. Entonces, esto quiere decir que z_0 es un cero de orden (multiplicidad) n de g. Al ser, g analítica, le corresponde un desarrollo en serie como sigue:

g(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_k(z-z_0)^k

Pero todos los términos hasta el rango n son nulos, por lo que podemos escribir que:

\boxed{g(z)=\displaystyle\sum_{k=n}^{\infty}a_k(z-z_0)^k=(z-z_0)^n\underbrace{\{a_n+a_{n+1}(z-z_0)+a_{n+2}(z-z_0)^2+\cdots\}}_{g_r(z)}}

con a_n\neq 0 (sino z_0 sería un cero de orden n+1 de g) y donde hemos introducido g_r que llamaremos función reducida de g. Esta función reducida de g es analítica en un disco centrado en z_0 y no se anula en dicho punto, por lo que podemos definir la función reducida de h como:

h_r(z)=\displaystyle\frac{f(z)}{g_r(z)}

Está claro, pues, que h_r es analítica en el disco de analiticidad de g_r centrado en z_0.  ¿Porqué hemos intoducido estas funciones reducidas? Pues porqué, ahora, podemos hallar la serie de Laurent de h obteniendo la serie entera (de Taylor con potencias positivas exclusivamente) de h_r, y,como consecuencia, podremos hallar el resíduo que buscamos, que corresponde al coeficiente del término en (z-z_0)^{-1} de la serie de Laurent de h, a partir del desarrollo en serie de h_r. Y ¿a qué coeficientes de dicha serie corresponde el resíduo? Pues al término en (z-z_0)^{n-1} del desarrollo de  h_r. En efecto, tenemos que:

\boxed{h(z)=\displaystyle\frac{f(z)}{(z-z_0)^n g_r (z)}=\displaystyle\frac{h_r(z)}{(z-z_0)^n}}

Finalmente, bastará con hallar el desarrollo en serie entera de h_r hasta el orden n-1 para hallar Res(h,z_0).

Ahora, nos podemos fijar en que, a partir de este resultado, volvemos a encontrar la fórmula (1). En efecto, el coeficiente del desarrollo de Taylor de h_r correspondiente a la potencia n-1-ésima es, por definición:

\displaystyle\frac{1}{(n-1)!}\displaystyle\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\{h_r(z_0)\}

Pero, h_r(z)=(z-z_0)^nh(z). Entonces, este coeficiente (que es el resíduo) se puede encontrar mediante el límite de la fórmula (1). No obstante, a la práctica, será mucho más rápido y eficiente hallar el desarrollo en serie de Taylor de h_r en z_0 mediante la división de potencias crecientes de la serie de f respecto de g_r. Esto es, tenemos los siguientes desarrollos en serie:

f(z)=b_0+b_1\xi+b_2\xi^2+\cdots\\g_r(z)=a_n+a_{n+1}\xi+a_{n+2}\xi^2+\cdots

donde los a_k son los coeficientes del desarrollo de g y donde hemos hecho \xi=z-z_0. Planteamos la división en potencias crecientes:

b_0+b_1\xi+b_2\xi^2+\cdots\quad |\underline{ a_n+a_{n+1}\xi+a_{n+2}\xi^2+\cdots}\Longrightarrow\displaystyle\frac{b_0}{a_n}+\cdots

Cuando lleguemos a la potencia n-1, tendremos el resíduo deseado. El proceso de la división en potencias crecientes parece ser engorroso, no obstante, a la práctica, lo es muchísimo menos que el cálculo de la derivada y del límite planteado en la fórmula (1) .

Espero que os sirva. En los días próximos, incluiré en este post algunos ejemplos de la potencia de este método frente a la fórmula general.

Que os vaya muy bien!!

Alex.

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