Cáculo de resíduos (difíciles) 2- ejemplos.

Hola a todos. Lo prometido es deuda!! Estoy aquí, de nuevo, para daros algunos ejemplos de aplicación del método que os dí en mi primer artículo. En efecto, veréis que, en muchos casos, el cálculo de resíduos correspondientes a polos de orden mayores a la unidad se vuelve muy engorroso mediante la fórmula (1) general que podeis encontrar en mi primer artículo. Empecemos pues.

Sea la integral impropia:

$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\displaystyle\frac{\cos{mx}}{(x^2+a^2)^2}\,dx\quad con\quad a,m>0$

Para resolverla gracias al teorema de los resíduos, extendemos la función integrando al plano complejo, definiendo así:

$h(z)=\displaystyle\frac{{\rm e}^{imz}}{(z^2+a^2)^2}\quad con\quad a,m\in\mathbb{R}^+$

En este artículo, mi intención no es la de resolver esta integral (quien tenga dudas de cómo se hace o simplemente quiera saberlo, no dudeis en preguntar) sino que quería contextualizar el cálculo que sigue. Efectivamente, el teorema de los resíduos nos lleva a calcular el resíduo de $h$ en el polo $z_0=ia$ . Esto es:

$\boxed{Res(h(z),z_0)}$

Ante todo, es fácil ver que $z_0=ia$ es un polo doble (de orden 2) de $h$ . Veamos cómo sería la resolución de este problema con la fórmula general. En primer lugar, tendremos que calcular la deriada de $(z-z_0)h(z)=\displaystyle\frac{{\rm e}^{imz}}{(z+ia)^2}$ que, de por sí, lleva algo de cálculo en el cual hay que estar atento para no equivocarse:

$\displaystyle\frac{d}{dz}\{(z-z_0)h(z)\}=\displaystyle\frac{im{\rm e}^{imz}(z+ia)^2-2(z+ia){\rm e}^{imz}}{(z+ia)^4}$

$\displaystyle\frac{d}{dz}\{(z-z_0)h(z)\}={\rm e}^{imz}\displaystyle\frac{im(z+ia)^2-2(z+ia)}{(z+ia)^4}$

$\displaystyle\frac{d}{dz}\{(z-z_0)h(z)\}=\displaystyle\frac{{\rm e}^{imz}}{(z+ia)^3}(im(z+ia)-2)$

$\boxed{\displaystyle\frac{d}{dz}\{(z-z_0)h(z)\}=\displaystyle\frac{{\rm e}^{imz}}{(z+ia)^3}(imz-ma-2)}$

Ahora, ya que en este caso $1/(n-1)!=1$ , falta coger el límite $z\to z_0$ :

$\displaystyle\lim_{z\to ia}\displaystyle\frac{{\rm e}^{imz}}{(z+ia)^3}(imz-ma-2)=\displaystyle\frac{{\rm e}^{-ma}}{(2ia)^3}(-ma-ma-2)$

$\displaystyle\lim_{z\to ia}\displaystyle\frac{{\rm e}^{imz}}{(z+ia)^3}(imz-ma-2)=\displaystyle\frac{{\rm e}^{-ma}}{-8ia^3}(-2ma-2)$

$\displaystyle\lim_{z\to ia}\displaystyle\frac{{\rm e}^{imz}}{(z+ia)^3}(imz-ma-2)=\displaystyle\frac{{\rm e}^{-ma}}{4ia^3}(ma+1)$

$\Longrightarrow\boxed{Res(h,ia)=\displaystyle\frac{{\rm e}^{-ma}}{4ia^3}(ma+1)}$

Podeis ver que este cálculo no es ni muy largo ni muy difícil (luego pondré algunos más complicados) pero el método que os propuse en mi artículo es mucho más rápido y eficaz. Para entender lo que sigue, supongo que no será necesario deciros que teneis que haber entendido el planteamiento de mi post anterior. Usaré exactamente las misma notaciones. En este caso, tenemos que:

$f(z)={\rm e}^{imz}$

$g_r(z)=(z+ia)^2$

EL primer paso es el de desarrollar estas dos funciones analíticas en un disco centrado en $z_0=ia$ en serie de potencias. Además, sabemos que, del resultado de la división según las potencias crecientes de estas dos funciones, sólo necestiremos el coeficiente del termino en $\xi^{n-1}=\xi$ (ya que $n=2$ es el orden del polo), así que no necesitamos muchos términos de los desarrollos (obviamente pondremos todos los de $g_r$ por ser un polinomio de desarrollo finito):

$f(z)={\rm e}^{imz}={\rm e}^{-ma}(1+im\xi+\cdots)$

$g_r(z)=(z+ia)^2=-4a^2+4ia\xi+\xi^2$

Finalmente, procedemos a la división según potencias crecientes (que no es más que una división euclídea de polinomios con dichos polinomios ordenados de potencias menores a mayores) parándonos en el coeficiente del término en $\xi$ (sólo tenemos que hacer 2 pasos de la división!!!!) obteniendo:

$1+im\xi+\cdots\,:\,-4a^2+4ia\xi+\xi^2=\displaystyle\frac{1}{4a^2}-\displaystyle\frac{i}{4a^3}(ma+1)\xi$

De donde, multiplicando por el factor ${\rm e}^{-ma}$ que nos hemos dejado para hacer la división, obtenemos el resultado deseado:

$\boxed{Res(h,ia)=\displaystyle\frac{{\rm e}^{-ma}}{4ia^3}(ma+1)}$

Por lo tanto, hay bastante menos cálculo con éste método que con la fórmula general. Además, cuando tengáis práctica, lo que acabo de hacer se vuelve muy fácil.

Mañana os pondré más ejemplos. Que os vaya bien.

Alex.

P.D: No dudéis en pedir que exponga un ejemplo en particular.

Enviado por alespa07 Categoría Análisis Matemático

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